Question

Bài 3: Cho các số thực dương a,b thỏa mãn a + b = 2.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :\(P=\frac{a}{\sqrt{4-a^2}}+\frac{b}{\sqrt{4-b^2}}\)

Answer 1

\(a+b=2\Rightarrow4=a^2+b^2+2ab\)

\(P=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+2ab-a^2}}+\frac{b}{\sqrt{a^2+2ab+b^2-b^2}}=\frac{a}{\sqrt{b\left(2a+b\right)}}+\frac{b}{\sqrt{a\left(a+2b\right)}}\)

\(\frac{P}{2\sqrt{3}}=\frac{a}{2\sqrt{3b\left(2a+b\right)}}+\frac{b}{2\sqrt{3a\left(a+2b\right)}}\ge\frac{a}{3b+2a+b}+\frac{b}{3a+a+2b}\)

\(\frac{P}{\sqrt{3}}\ge\frac{a}{a+2b}+\frac{b}{b+2a}=\frac{a^2}{a^2+2ab}+\frac{b^2}{b^2+2ab}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{a^2+b^2+4ab}=\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(a+b\right)^2+2ab}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(a+b\right)^2+\frac{1}{2}\left(a+b\right)^2}=\frac{2}{3}\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{2\sqrt{3}}{3}\)

\(P_{min}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\) khi \(a=b=1\)