Bài 2. Cho biểu thức P= \(\frac{x^2}{5x+25}+\frac{2x-10}{x}+\frac{50+5x}{x^2+5x}\)
a) Tìm điều kiện xác định của P
b) Rút gọn biểu thức P
c) Tìm giá trị của x để P= -4
d) Tìm các giá trị nguyên của x để \(\frac{1}{P}\)nhận giá trị nguyên
e) Với x> 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q= P+\(\frac{x+25}{x+5}\)
a, ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x\ne0\\x\ne-5\end{matrix}\right.\)
b, \(P=\dfrac{x^2}{5x+25}+\dfrac{2x-10}{x}+\dfrac{50+5x}{x^2+5x}\)
\(=\dfrac{x^2}{5\left(x+5\right)}+\dfrac{2\left(x-5\right)}{x}+\dfrac{5\left(x+10\right)}{x\left(x+5\right)}\)
\(=\dfrac{x^2\cdot x}{5x\left(x+5\right)}+\dfrac{2\left(x-5\right)\cdot5\left(x+5\right)}{5x\left(x+5\right)}+\dfrac{5\left(x+10\right)\cdot5}{5x\left(x+5\right)}\)
\(=\dfrac{x^3+10\left(x^2-25\right)+25x+250}{5x\left(x+5\right)}\)\(=\dfrac{x^3+10x^2-250+25x+250}{5x\left(x+5\right)}\)
\(=\dfrac{x^3+10x^2+25x}{5x\left(x+5\right)}=\dfrac{x\left(x^2+2\cdot x\cdot5+5^2\right)}{5x\left(x+5\right)}=\dfrac{x\left(x+5\right)^2}{5x\left(x+5\right)}=\dfrac{x+5}{5}\)
c, \(P=-4\Leftrightarrow\dfrac{x+5}{5}=-4\)
\(\Leftrightarrow x+5=-20\Leftrightarrow x=-25\)
d, \(P=\dfrac{x+5}{5}\Rightarrow\dfrac{1}{P}=\dfrac{5}{x+5}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{P}\in Z\Leftrightarrow5⋮x+5\)
\(\Leftrightarrow x+5\inƯ\left(5\right)\in\left\{\pm1;\pm5\right\}\)
\(\Leftrightarrow x\in\left\{-10;-6;-4;0\right\}\)
e, \(Q=P+\dfrac{x+25}{x+5}=\dfrac{x+5}{5}+\dfrac{x+25}{x+5}\)
=\(\dfrac{\left(x+5\right)^2+5\left(x+25\right)}{5\left(x+5\right)}=\dfrac{x^2+15x+150}{5\left(x+5\right)}=\dfrac{x\left(x+5\right)+10\left(x+5\right)+100}{5\left(x+5\right)}=x+2+\dfrac{50}{x+5}=\left[\left(x+5\right)+\dfrac{50}{x+5}\right]-3\ge2\sqrt{\left(x+5\right)\cdot\dfrac{50}{x+5}}-3=2\sqrt{50}-3=10\sqrt{2}-3\)
Dấu bằng khi \(\left(x+5\right)^2=50\Leftrightarrow x=5\sqrt{2}-5\left(x>0\right)\)
