Bài 1 :
Giai phương trình \(x^3+3x^2-15x+11=\dfrac{\left(x^2+5x-12\right)^2}{4}\)
Bài 2 :Giai phương trình \(x^5=x^4+x^3+x+2\)
Bài 3 :Chox,y,z >0thoả mãn \(2x^2+3y^2-2z^2=0\)
CMR : trong 3 số z lớn nhất
Bài 4 :CMR với a,b,c dương có :
\(\dfrac{ab}{a+b}+\dfrac{bc}{b+c}+\dfrac{ca}{c+a}\le\dfrac{a+b+c}{2}\)
Bài 5 : Cho hình bình hành ABCD .Gọi O là giao điểm hai đường chéo .Gọi M,N,P,Q theo thứ tự là giao điểm của các đường phân giác của các tam giác AOB,BOC,COD và DOA .
a, CMR : MNPQ là hình thoi
b, Nếu ABCD là hình thoi thì MNPQ là hình gì ?Vì sao ?
THI HSG TOÁN 8 .
Bài 4:
Đặt P =\(\dfrac{ab}{a+b}+\dfrac{bc}{b+c}+\dfrac{ca}{c+a}\)
\(P=a-\dfrac{a^2}{a+b}+b-\dfrac{b^2}{b+c}+c-\dfrac{c^2}{c+a}\)
\(P=a+b+c-\left(\dfrac{a^2}{a+b}+\dfrac{b^2}{b+c}+\dfrac{c^2}{c+a}\right)\le a+b+c-\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}\)
\(P\le a+b+c-\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{a+b+c}{2}\left(đpcm\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c
Bài 3 :
\(Ta.có:2x^2+3y^2-2z^2=0\)
\(\Leftrightarrow3y^2=2\left(z^2-x^2\right)=2\left(z-x\right)\left(z+x\right)\)
\(y>0=>3y^2>0;z+x>0\left(x,z>0\right)\)
\(=>z-x>0=>z>x\left(1\right)\)
\(2x^2+3y^2-2z^2=2x^2+y^2=2\left(z^2-y^2\right)\)
\(=>z>y\left(2\right)\)
\(\left(1\right),\left(2\right)=>z>x,y\)
Vậy............................
Bài 1 :
\(x^3+3x^2-15x+11=\dfrac{\left(x^2+5x+12\right)^2}{2}\)
\(VT=x^3+3x^2-15x+11\)
\(=x^3-x^2+4x^2-4x-11x+11\)
\(=\left(x-1\right)\left(x^2+4x-11\right)\)
Mặt khác : \(x^2+4x-11+x-1=x^2+5x-12\)
\(Ta.có:\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
Áp dụng vào bài có :
\(\left(x^2+5x-12\right)^2\ge4\left(x^3+3x^2-15x+11\right)\)
\(< =>\dfrac{\left(x^2+5x-12\right)^2}{4}\le x^3+3x^2-15x+11\)
\(''=''< =>a=b< =>x-1=x^2+4x-11\)
\(=>x^2+3x-10=0\)
\(=>\left(x+5\right)\left(x-2\right)=0\)
\(=>\left\{{}\begin{matrix}x=5\\x=2\end{matrix}\right.\)
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm \(x_1=5;x_2=2\)
Bài 2 :
\(x^5=x^4+x^3+x+2\)
\(\Leftrightarrow x^5-2x^4+x^4-2x^3+x^3-2x^2+x^2-2x+x-2=0\)
\(\Leftrightarrow x^4\left(x-2\right)+x^3\left(x-2\right)+x^2\left(x-2\right)+x\left(x-2\right)+\left(x-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x^4+x^3+x^2+x+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left[\left(x^2+\dfrac{x}{2}\right)^2+\left(\dfrac{x}{2}+1\right)^2+\dfrac{x^2}{2}\right]=0\)
\(Vì:\left(x^2+\dfrac{x}{2}\right)^2\ge0;\left(\dfrac{x}{2}+1\right)^2\ge0;\dfrac{x^2}{2}\ge0\) nên \(\left[\left(x^2+\dfrac{x}{2}\right)^2+\left(\dfrac{x}{2}+1\right)^2+\dfrac{x^2}{2}\right]\ne0\)
Vậy nghiệm của phương trình là x = 2 .
