bài 1: cho ▲ABC vuông cân tại A trên cạnh AB lấy điểm D , trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AD=AE . từ C kẻ đường thẳng vuông góc với BE cắt BA ở I
a, chứng minh : BE=CI
b, qua D và A kể đường thẳng vuông góc với BE cắt BC lần lượt ở M và N . chừng minh MN=NC
bài 2: cho hình thang vuông ABCD , góc A = góc D=90 độ . gọi E là điểm đối xứng với C qua AD, I là giao điểm của BE với AI
a, chứng minh ID là tia phân giác của góc CIF
b, tia CI cắt AB ở F . chứng minh F đối xứng với B qua AD
Bài 1:
a) Gọi giao điểm của CI và BE là F
⇒CF⊥BE tại F
Ta có: ΔCEF vuông tại F(CF⊥BE, F∈BE)
nên \(\widehat{FCE}+\widehat{CEF}=90^0\)(hai góc nhọn phụ nhau)
\(\Leftrightarrow\widehat{ACI}=90^0-\widehat{FEC}\)
mà \(\widehat{FEC}=\widehat{AEB}\)(hai góc đối đỉnh)
nên \(\widehat{ACI}=90^0-\widehat{AEB}\)(1)
Ta có: ΔAEB vuông tại A(CA⊥BA, E∈AC)
nên \(\widehat{ABE}+\widehat{AEB}=90^0\)(hai góc nhọn phụ nhau)
hay \(\widehat{ABE}=90^0-\widehat{AEB}\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{ACI}=\widehat{ABE}\)
Xét ΔACI vuông tại A và ΔABE vuông tại A có
AC=AB(ΔABC vuông cân tại A)
\(\widehat{ACI}=\widehat{ABE}\)(cmt)
Do đó: ΔACI=ΔABE(cạnh góc vuông-góc nhọn kề)
⇒CI=BE(hai cạnh tương ứng)(đpcm1)
b) Ta có: ΔACI=ΔABE(cmt)
⇒AI=AE(hai cạnh tương ứng)
mà AD=AE(gt)
nên AI=AD
mà A,I,D thẳng hàng
nên A là trung điểm của ID
Ta có: CI⊥BE(gt)
MD⊥BE(gt)
NA⊥BE(gt)
Do đó: CI//MD//NA(định lí 1 từ vuông góc tới song song)
Xét tứ giác MDIC có MD//CI(cmt)
nên MDIC là hình thang có hai đáy là MD và CI(định nghĩa hình thang)
Xét hình thang MDIC(MD//CI) có
A là trung điểm của cạnh bên ID(cmt)
AN//MD//CI(cmt)
Do đó: N là trung điểm của CM(định lí 3 về đường trung bình của hình thang)
⇒NM=NC(đpcm2)