a)
b) P = x2 + 2y2 + 2xy – 6x – 8y + 2028
P = (x2 + y2 + 2xy) – 6(x + y) + 9 + y2 – 2y + 1 + 2018
P = (x + y – 3)2 + (y – 1)2 + 2018 2018
=> Giá trị nhỏ nhất của P = 2018 khi x = 2; y = 1
Cách khác câu a
\(a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
\(\Leftrightarrow3a^2+3b^2+3c^2\ge a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
=>đpcm
Câu b) P = x2 + 2y2 + 2xy - 6x - 8y + 2028
P = x2 + 2xy + y2 - 6x - 6y + 9 + y2 - 2y + 1 + 2018
P = ( x + y)2 - 6( x + y) + 9 + ( y - 1)2 + 2018
P = ( x + y - 3)2 + ( y - 1)2 + 2018
Do : ( x + y - 3)2 ≥ 0 ∀x,y
( y - 1)2 ≥ 0 ∀x,y
⇒( x + y - 3)2 + ( y - 1)2 ≥ 0
⇒ ( x + y - 3)2 + ( y - 1)2 + 2018 ≥ 2018
⇒ PMIN = 2018 ⇔ x = 2 ; y = 1
Cách khác câu a)
Áp dụng BĐT Cô - Si dạng Engel vào bài toán , ta có :
\(\dfrac{a^2}{1}+\dfrac{b^2}{1}+\dfrac{c^2}{1}\) ≥ \(\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{1+1+1}=\dfrac{9}{4}.\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{4}\)
Dấu " = " xảy ra khi : a = b = c = \(\dfrac{1}{2}\)