Question

2. Chứng minh : a⁵ - a chia hết cho 30 với a thuôc Z. Từ đó suy ra a⁵ và a có chữ số tận cùng giống nhau.

Answer 1

a⁵ - a = a.(a⁴ - 1) = a.(a² - 1).(a² + 1) = a.(a - 1).(a + 1).(a² + 1) (*)

Dễ thấy a.(a - 1).(a + 1) chia hết cho 2 và 3 vì là tích 3 số nguyên liên tiếp

=> a⁵ - a chia hết cho 2 và 3

Mà (2;3)=1 => a⁵ - a chia hết cho 6 (1)

Ta đã biết số chính phương a² khi chia cho 5 chỉ có thể dư 0; 1 hoặc 4

+ Nếu a² chia 5 dư 0, do 5 nguyên tố nên a chia hết cho 5

Từ (*) => a⁵ - a chia hết cho 5

+ Nếu a² chia 5 dư 1 => a² - 1 chia hết cho 5

Từ (*) => a⁵ - a chia hết cho 5

+ Nếu a² chia 5 dư 4 => a² + 1 chia hết cho 5

Từ (*) => a⁵ - a chia hết cho 5

Như vậy, a⁵ - a luôn chia hết cho 5 với mọi a ϵ Z (2)

Từ (1) và (2), do (5;6)=1 => a⁵ - a chia hết cho 30 (')

=> a⁵ - a có tận cùng là 0 hay a⁵ và a có chữ số tận cùng giống nhau (")

(') và (") chính là đpcm