1.Rút gọn: \(x=\sqrt{\left(4+\sqrt{15}\right)\left(\sqrt{10}-\sqrt{6}\right)\left(\sqrt{4-\sqrt{15}}\right)}\)
2. cho hàm số y=(m-1)x+2m. tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số y=(m-1)x+2m cắt hai trục tọa độ và tạo với hai trục một tam giác có diện tích bằng 1 ( đvdt)
3. a) giải phương trình \(\left(x+5\right)\sqrt{x+3}=\left(x+1\right)\left(x^2+2x+3\right)\)
b) Tìm x, y nguyên thỏa mãn \(x^2-xy+y^2=2x-y\)
\(x=\sqrt{\left(4+\sqrt{15}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\sqrt{8-2\sqrt{15}}}\)
\(=\sqrt{\left(4+\sqrt{15}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\sqrt{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^2}}\)
\(=\sqrt{\left(4+\sqrt{15}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^2}\)
\(=\sqrt{\left(4+\sqrt{15}\right)\left(8-2\sqrt{15}\right)}\)
\(=\sqrt{2\left(4+\sqrt{15}\right)\left(4-\sqrt{15}\right)}=\sqrt{2}\)
2/ Để đồ thị hàm số cắt 2 trục tọa độ tại 2 điểm pb \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-1\ne0\\m\ne0\end{matrix}\right.\)
Gọi A là giao điểm của (d) với trục Ox \(\Rightarrow A\left(\frac{2m}{1-m};0\right)\)
\(\Rightarrow OA=\left|\frac{2m}{1-m}\right|=\left|\frac{2m}{m-1}\right|\)
Gọi B là giao điểm của (d) với Oy \(\Rightarrow B\left(0;2m\right)\Rightarrow OB=\left|2m\right|\)
\(S_{OAB}=\frac{1}{2}OA.OB=1\Leftrightarrow OA.OB=2\)
\(\Leftrightarrow\left|\frac{2m}{m-1}\right|.\left|2m\right|=2\Leftrightarrow2m^2=\left|m-1\right|\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2m^2=m-1\\2m^2=1-m\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2m^2-m+1=0\left(vn\right)\\2m^2+m-1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-1\\m=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
3/
a/ ĐKXĐ: \(x\ge-3\)
\(\Leftrightarrow\left(x+3\right)\sqrt{x+3}+2\sqrt{x+3}=\left(x+1\right)\left[\left(x+1\right)^2+2\right]\)
\(\Leftrightarrow\left(x+3\right)\sqrt{x+3}+2\sqrt{x+3}=\left(x+1\right)^3+2\left(x+1\right)\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x+3}=a\\x+1=b\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a^3+2a=b^3+2b\)
\(\Leftrightarrow a^3-b^3+2\left(a-b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)+2\left(a-b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(\left(a+\frac{b}{2}\right)^2+\frac{3b^2}{4}+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a=b\Leftrightarrow\sqrt{x+3}=x+1\) (\(x\ge-1\))
\(\Leftrightarrow x+3=\left(x+1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow x^2+x-2=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-2\left(l\right)\end{matrix}\right.\)
3b/
\(\Leftrightarrow x^2-\left(y+2\right)x+y^2+y=0\)
Coi pt trên là ẩn x tham số y, để pt có nghiệm
\(\Leftrightarrow\left(y+2\right)^2-4\left(y^2+y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow-3y^2+4\ge0\)
\(\Leftrightarrow y^2\le\frac{4}{3}\)
Mà y nguyên \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y^2=0\\y^2=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow y=\left\{-1;0;1\right\}\)
Thay y vào pt ban đầu để kiểm tra x