2/Đặt : \(\left(x,y,z\right)=\left(a^3,b^3,c^3\right)\Rightarrow a^3b^3c^3=1\Rightarrow abc=1\)
Có: \(P=\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}\)
Ta có: \(a^2-ab+b^2\ge ab\)( dễ dàng CM)
Nên: \(a^3+b^3+1=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+1\ge ab\left(a+b\right)+abc=ab\left(a+b+c\right)\)
Từ đó suy ra : \(\frac{1}{a^3+b^3+1}\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}=\frac{abc}{ab\left(a+b+c\right)}=\frac{c}{a+b+c}\)(1)
Tương tự ta cũng có: \(\frac{1}{b^3+c^3+1}\le\frac{a}{a+b+c}\left(2\right),\frac{1}{c^3+a^3+1}\le\frac{b}{a+b+c}\left(3\right)\)
Cộng (1),(2) và (3) có MAX P=1 với a=b=c=1
Bài 1 :
ÁP dụng BĐT Bunhiacopxki ta có :
\(\left(1+1\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2=1\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=0,5\)
Ta có : \(\frac{a^3+b^3}{2}\ge\left(\frac{a+b}{2}\right)^3\) ( ý a )
\(\Leftrightarrow a^3+b^3\ge\frac{\left(a+b\right)^3}{4}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)
\(4a^3+4b^3+ab\)
\(=3\left(a^3+b^3\right)+\left(a^3+b^3+ab\right)\)
\(\ge3.\frac{\left(a+b\right)^3}{4}+\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+ab=\frac{3}{4}+a^2+b^2\ge\frac{3}{4}+\frac{1}{2}=\frac{5}{4}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=0,5\)
Bài 2 :
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x=a^3\\y=b^3\\z=c^3\end{matrix}\right.\)
Ta có xyz = 1 \(\Rightarrow a^3b^3c^3=1\Leftrightarrow abc=1\)
\(\Rightarrow\frac{1}{1+x+y}+\frac{1}{a^3+b^3+abc}\)
Ta có : \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\) ( bn tự cm )
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)
\(\Rightarrow\frac{1}{1+x+y}=\frac{1}{a^3+b^3+abc}\le\frac{1}{ab\left(a+b\right)+abc}+\frac{1}{\left(a+b+c\right)ab}\)
Tương tự ta cũng có :
\(\frac{1}{1+z+y}=\frac{1}{c^3+b^3+abc}\le\frac{1}{cb\left(c+b\right)+abc}=\frac{1}{\left(a+b+c\right)cb}\)
\(\frac{1}{1+z+x}=\frac{1}{c^3+a^3+abc}\le\frac{1}{ca\left(c+a\right)+abc}=\frac{1}{\left(a+b+c\right)ca}\)
Cọng vế với vế của 3 BĐT trên ta được
\(P\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{ca\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{abc\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{abc}=1\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Vậy \(P_{Max}=1\Leftrightarrow x=y=z=1\)
