Question

1. Giải phương trình:

a) \(x^2-x-4=2\sqrt{x-1}\left(1-x\right)\)

b) \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{4x}{1+4x}=\sqrt{y}\\\frac{4y}{1+4y}=\sqrt{z}\\\frac{4z}{1+4z}=\sqrt{x}\end{matrix}\right.\)

2. Cho phương trình \(x^2+2\left(m-2\right)x+m^2-2m+4=0\). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) thỏa mãn điều kiện \(\frac{2}{x_1^2+x_2^2}-\frac{1}{x_1x_2}=\frac{1}{15m}\)

làm ơn giải rõ ràng ra 1 chút đc ko ạ? Cảm ơn mn trc nek~

Answer 1

a/ ĐKXĐ: \(x\ge1\)

\(x^2-2x+1+2\left(x-1\right)\sqrt{x-1}+x-1=4\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+2\left(x-1\right)\sqrt{x-1}+x-1=4\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1+\sqrt{x-1}\right)^2=4\)

\(\Leftrightarrow x-1+\sqrt{x-1}=2\) (do \(x-1+\sqrt{x-1}\ge0\) \(\forall x\ge1\))

\(\Leftrightarrow x-1+\sqrt{x-1}-2=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x-1}=1\\\sqrt{x-1}=-2\left(l\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=2\)

b/ ĐKXĐ: \(x;y;z\ge0\)

Nhận thấy \(x=y=z=0\) là 1 nghiệm của pt đã cho

Với \(x;y;z\ne0\)

Áp dụng BĐT Cauchy: \(\sqrt{y}=\frac{4x}{4x+1}\le\frac{4x}{2\sqrt{4x}}=\sqrt{x}\Rightarrow y\le x\)

Hoàn toàn tương tự ta có \(\left\{{}\begin{matrix}z\le y\\x\le z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=y=z\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: \(\left\{{}\begin{matrix}4x=1\\4y=1\\4z=1\\x=y=z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=y=z=\frac{1}{4}\)

Answer 2

2/ \(\Delta'=\left(m-2\right)^2-\left(m^2-2m+4\right)>0\)

\(\Leftrightarrow-2m>0\Rightarrow m< 0\)

Theo định lý Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=4-2m\\x_1x_2=m^2-2m+4\end{matrix}\right.\)

\(\frac{2}{x_1^2+x_2^2}-\frac{1}{x_1x_2}=\frac{1}{15m}\)

\(\Leftrightarrow\frac{2}{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2}-\frac{1}{x_1x_2}=\frac{1}{15m}\)

\(\Leftrightarrow\frac{2}{2m^2-12m+8}-\frac{1}{m^2-2m+4}=\frac{1}{15m}\)

\(\Leftrightarrow\frac{m}{m^2-6m+4}-\frac{m}{m^2-2m+4}=\frac{1}{15}\)

Do \(m< 0\), chia cả tử và mẫu của các hạng tử vế trái cho m ta được:

\(\frac{1}{m+\frac{4}{m}-6}-\frac{1}{m+\frac{4}{m}-2}=\frac{1}{15}\)

Đặt \(m+\frac{4}{m}-6=a\Rightarrow m+\frac{4}{m}-2=a+4\) phương trình trở thành:

\(\frac{1}{a}-\frac{1}{a+4}=\frac{1}{15}\Leftrightarrow15\left(a+4\right)-15a=a\left(a+4\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+4a-60=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=6\\a=-10\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m+\frac{4}{m}-6=6\\m+\frac{4}{m}-6=-10\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m^2-12m+4=0\\m^2+4m+4=0\end{matrix}\right.\)