Question

1. Cho 4 số thực bất kì a,b,c,d. CM:

|ab+cd|<=\(\sqrt{\left(a^2+c^2\right)\left(b^2+d^2\right)}\)

Dấu đảng thức xảy ra khi nào?

2. Với giá trị nào cua góc nhọn α thì biểu thức P=3sinα+√3 cosα có giá trị lớn nhất? tìm giá trị lớn nhất đó.

Answer 1

1. \(\left|ab+cd\right|\le\sqrt{\left(a^2+c^2\right)\left(b^2+d^2\right)}\)

\(\Leftrightarrow\left(ab+cd\right)^2\le\left(a^2+c^2\right)\left(b^2+d^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2b^2+2abcd+c^2d^2\le a^2b^2+a^2d^2+c^2b^2+c^2d^2\)

\(\Leftrightarrow a^2d^2-2abcd+c^2b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(ad-bc\right)^2\ge0\)( luôn đúng )

Dấu đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow ad-bc=0\Leftrightarrow ad=bc\Leftrightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)

Answer 2

Thử cách em ở câu 1 xem nào;)

Áp dụng BĐT Bunhicopxki ta có:

\(VP=\sqrt{\left(a^2+c^2\right)\left(b^2+d^2\right)}\ge\sqrt{\left(ab+cd\right)^2}=\left|ab+cd\right|=VT^{\left(đpcm\right)}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)