a:
Xét ΔBAE vuông tại A có \(cosA=\dfrac{AE}{AB}\)
Xét ΔBFC vuông tại F có \(cosB=\dfrac{BF}{BC}\)
Xét ΔCEB vuông tại E có \(cosC=\dfrac{CE}{CB}\)
Xét ΔABE vuông tại E và ΔACF vuông tại F có
\(\widehat{BAE}\) chung
Do đó: ΔABE đồng dạng với ΔACF
=>\(\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AC}\)
=>\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)
Xét ΔAEF và ΔABC có
\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)
góc FAE chung
Do đó: ΔAEF đồng dạng với ΔABC
=>\(\dfrac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\left(\dfrac{AE}{AB}\right)^2=\dfrac{AE}{AB}\cdot\dfrac{AF}{AC}=cosA\cdot cosA=cos^2A\)
=>\(S_{AEF}=cos^2A\cdot S_{ABC}\)
b: Xét ΔBFC vuông tại F và ΔBDA vuông tại D có
\(\widehat{FBC}\) chung
Do đó: ΔBFC đồng dạng với ΔBDA
=>\(\dfrac{BF}{BD}=\dfrac{BC}{BA}\)
=>\(\dfrac{BF}{BC}=\dfrac{BD}{BA}\)
Xét ΔBFD và ΔBCA có
\(\dfrac{BF}{BC}=\dfrac{BD}{BA}\)
\(\widehat{FBD}\) chung
Do đó: ΔBFD đồng dạng với ΔBCA
=>\(\dfrac{S_{BFD}}{S_{BCA}}=\left(\dfrac{BF}{BC}\right)^2=\dfrac{BF}{BC}\cdot\dfrac{BF}{BC}=cos^2ABC\)
=>\(S_{BFD}=S_{BCA}\cdot cos^2ABC\)
Xét ΔCEB vuông tại E và ΔCDA vuông tại D có
\(\widehat{ECB}\) chung
Do đó ΔCEB đồng dạng với ΔCDA
=>\(\dfrac{CE}{CD}=\dfrac{CB}{CA}\)
=>\(\dfrac{CE}{CB}=\dfrac{CD}{CA}\)
Xét ΔCED và ΔCBA có
\(\dfrac{CE}{CB}=\dfrac{CD}{CA}\)
\(\widehat{ECD}\) chung
Do đó: ΔCED đồng dạng với ΔCBA
=>\(\dfrac{S_{CED}}{S_{CBA}}=\left(\dfrac{CE}{CB}\right)^2=cos^2ACB\)
=>\(S_{CED}=S_{ABC}\cdot cos^2ACB\)
Ta có: \(S_{AFE}+S_{DFE}+S_{CDE}+S_{BFD}=S_{ABC}\)
=>\(S_{ABC}\cdot cos^2BAC+S_{ABC}\cdot cos^2ABC+S_{ABC}\cdot cos^2ACB+S_{DEF}=S_{ABC}\)
=>\(S_{DEF}=S_{ABC}\cdot\left(1-cos^2BAC-cos^2ACB-cos^2ABC\right)\)
