a: \(AB=\sqrt{\left(2-4\right)^2+\left(4-1\right)^2}=\sqrt{13}\)
\(AC=\sqrt{\left(2-4\right)^2+\left(-2-1\right)^2}=\sqrt{13}\)
\(BC=\sqrt{\left(2-2\right)^2+\left(-2-4\right)^2}=6\)
\(C=\sqrt{13}+\sqrt{13}+6=6+2\sqrt{13}\)
b: ABCD là hình bình hành
=>vecto AB=vecto DC
=>2-x=2-4=-2 và -2-y=4-1=3
=>x=4 và y=-5
c: Tọa độ G là;
\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{4+2+2}{3}=\dfrac{8}{3}\\y=\dfrac{1+4-2}{3}=1\end{matrix}\right.\)
d:
vecto AH=(x-4;y-1); vecto BC=(0;-6)
vecto BH=(x-2;y-4); vecto AC=(-2;-3)
H là trực tâm
=>vecto AH*vecto BC=0 và vecto BH*vecto AC=0
=>(x-4)*0+(y-1)*(-6)=0 và (x-2)*(-2)+(y-4)*(-3)=0
=>y-1=0 và -2x+4-3y+12=0
=>y=1 và -2x-3y+16=0
=>y=1 và -2x=3y-16=-13
=>x=13/2 và y=1
e) Gọi \(I\left(x_I;y_I\right)\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AI^2=BI^2\\AI^2=CI^2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x_I-4\right)^2+\left(y_I-1\right)^2=\left(x_I-2\right)^2+\left(y_I-4\right)^2\\\left(x_I-4\right)^2+\left(y_I-1\right)^2=\left(x_I-2\right)^2+\left(y_I+2\right)^2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2_I-8x_I+16+y^2_I-2y_I+1=x^2_I-4x_I+4+y^2_I-8y_I+16\\x^2_I-8x_I+16+y^2_I-2y_I+1=x^2_I-4x_I+4+y^2_I-4y_I+4\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x_I-6y_I=-3\\4x_I-2y_I=-9\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4y_I=-6\\4x_I-2y_I=-9\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_I=-3\\y_I=-\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow I\left(-3;-\dfrac{3}{2}\right)\)
