Bài 36. Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông

a) Có AC=3AB => \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{1}{3}\)

- Có B′D′=3A′B′ => \(\frac{{A'B'}}{{B'D'}} = \frac{1}{3}\)

=> \(\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{AC}}{{B'D'}}\)

Xét tam giác vuông ABC (vuông tại A) và tam giác vuông A'B'D' (vuông tại C) có

=> \(\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{AC}}{{B'D'}}\)

=> ΔABC \( \backsim \) ΔC′D′B′ (1)

- Xét ΔC′D′B′ và ΔA′B′C′

Có B'C' chung, A′B′=C′D′, A′C′=B′D′ (hai hình chéo của chữ nhật)

=> ΔC′D′B′=ΔA′B′C′ (2)

Từ (1) và (2) chung =>ΔABC\( \backsim \) ΔA′B′C′

b) - Vì A′B′=2AB => \(\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{1}{2}\)

mà ΔABC ∽ ΔA'B'C' => \(\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}} = \frac{1}{2}\)

- Có diện tích ABCD là: AB.BC

  Có diện tích A'B'C'D' là: A′B′.B′C′

=> Xét tỉ lệ hai tam giác ABCD và A'B'C'D', có

\(\frac{{AB.BC}}{{A'B'.B'C'}} = \frac{{AB}}{{A'B'}}.\frac{{BC}}{{B'C'}} = \frac{1}{4}\)

=> \(S_{A′B′C′D′}=4S_{ABCD}\)

mà \(S_{ABCD}=2m^2\) => \(S_{A′B′C′D′}=8m^2\)

a) Vì ΔA′B′C′ ∽ ΔABC 

=> \(\widehat B = \widehat {B'};\frac{{A'H'}}{{AB}} = \frac{{A'C'}}{{AC}} = \frac{{B'C'}}{{BC}} = k\)

Xét hai tam giác vuông A'H'B' (vuông tại H') và tam giác vuông AHB (vuông tại H), có: 

\(\widehat B = \widehat {B'}\)

=> ΔA′H′B′ ∽ ΔAHB 

=> \(\frac{{A'H'}}{{AH}} = \frac{{A'B'}}{{AB}}\)

Mà \(\frac{{A'B'}}{{AB}} = k\)

=> \(\frac{{A'H'}}{{AH}} = k\)

b) Có diện tích tam giác ABC là: \(\frac{1}{2}\)AH.BC

   Có diện tích tam giác A'B'C' là: \(\frac{1}{2}\)A′H′.B′C′

Xét tỉ lệ giữa hai tam giác A'B'C' và tam giác ABC có:

\(\frac{{\frac{1}{2}A'H'.B'C'}}{{\frac{1}{2}AH.BC}} = \frac{{A'H'}}{{AH}}.\frac{{B'C'}}{{BC}} = k.k = {k^2}\)

Xét  ΔA′M′B′ (vuông tại A) và ΔAMB (vuông tại A') có \(\widehat {A'M'B'} = \widehat {AMB}\)

=> ΔA′M′B′ ∽ ΔAMB

=> \(\frac{{A'M'}}{{AM}} = \frac{{A'B'}}{{AB}}\)

=> \(\frac{1}{2} = \frac{5}{{AB}}\)

=> AB=10 (cm)