Bài 2. Tứ giác

Trong tứ giác \(ABCD\) có: \(\widehat {DAB} + \widehat {ABC} + \widehat {BCD} + \widehat {ADC} = 360^\circ \)

Ta có:

\(\widehat {{A_1}} + \widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}} + \widehat {{D_1}}\\\)

\(= \left( {180^\circ  - \widehat {DAB}} \right) + \left( {180^\circ  - \widehat {ABC}} \right) + \left( {180^\circ  - \widehat {BCD}} \right) + \left( {180^\circ  - \widehat {ADC}} \right)\\\)

\(= 180^\circ  + 180^\circ  + 180^\circ  + 180^\circ  - \left( {\widehat {DAB} + \widehat {ABC} + \widehat {BCD} + \widehat {ADC}} \right)\\ \)

\(= 720^\circ  - 360^\circ \\\)

\(= 360^\circ \)

Gọi góc ngoài đỉnh B là x

Ta có:

$\widehat {B} + x = 180^0 $

`=>`$ \widehat {B} + 110^0 = 180^0$

`=>` $\widehat {B} = 70^0$

Xét tứ giác ABCD:

$\widehat {A} + \widehat {B} + \widehat {C} + \widehat {D}= 360^0$

`=>` $100^0 + 70^0 + 75^0 + \widehat {D} = 360^0$

`=>` $\widehat {D} = 115^0$

Vậy, $\widehat {D} = 115^0.$

Xét \(\Delta ABC\) ta có:

\(\widehat B + \widehat {BAC} + \widehat {BCA} = 180^\circ \) (tính chất tổng ba góc trong tam giác)

Xét \(\Delta DAC\) ta có:

\(\widehat D + \widehat {DAC} + \widehat {DCA} = 180^\circ \)

Ta có:

\(\widehat B + \widehat {BAC} + \widehat {BCA} + \widehat D + \widehat {DAC} + \widehat {DCA} = 180^\circ  + 180^\circ \)

\(\widehat B + \widehat D + \left( {\widehat {BAC} + \widehat {DAC}} \right) + \left( {\widehat {BCA} + \widehat {DCA}} \right) = 360^\circ \)

\(\widehat B + \widehat D + \widehat {BAD} + \widehat {BCD} = 360^\circ \)

Vậy tổng các góc của tứ giác \(ABCD\) bằng \(360^\circ \)

a) Trong tứ giác \(ABCD\) có: 

\(\begin{array}{l}\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = 360^\circ \\110^\circ  + \widehat B + 75^\circ  + 75^\circ  = 360^\circ \\\widehat B = 360^\circ  - \left( {110^\circ  + 75^\circ  + 75^\circ } \right)\\\widehat B = 100^\circ \end{array}\)

b) Trong tứ giác \(MNPQ\) ta có:

\(\begin{array}{l}\widehat P + \widehat Q + \widehat M + \widehat N = 360^\circ \\90^\circ  + 70^\circ  + \widehat M + 90^\circ  = 360^\circ \\\widehat M = 360^\circ  - \left( {90^\circ  + 70^\circ  + 90^\circ } \right)\\\widehat M = 110^\circ \end{array}\)

c) Ta có: \(\widehat {TSV} = 180^\circ  - 60^\circ  = 120^\circ \)

Xét tứ giác \(UTSV\) ta có:

\(\begin{array}{l}\widehat U + \widehat T + \widehat S + \widehat V = 360^\circ \\115^\circ  + 65^\circ  + 120^\circ  + \widehat V = 360^\circ \\\widehat V = 360^\circ  - \left( {115^\circ  + 65^\circ  + 120^\circ } \right)\\\widehat V = 60^\circ \end{array}\)

d) Trong tứ giác \(EFGH\) có:

\(\begin{array}{l}\widehat F + \widehat E + \widehat G + \widehat H = 360^\circ \\\widehat F + 80^\circ  + 100^\circ  + 70^\circ  = 360^\circ \\\widehat F = 360^\circ  - \left( {80^\circ  + 100^\circ  + 70^\circ } \right)\\\widehat F = 110^\circ \end{array}\)

`a)`

Xét tứ giác `MNPQ:`

$ \widehat {M} + \widehat {N} +  \widehat {P} + \widehat {Q} = 360^0$

`=>` $120^0 + 110^0 + \widehat {P} + 80^0 = 360^0$

`=>`$ \widehat {P} = 50^0$

`=>` $x = \widehat {P}= 50^0$

Vậy, `x = 50^0`

`b)`

Xét tứ giác `EFGH:`

$\widehat {E} + \widehat {F} + \widehat {G} + \widehat {H} = 360^0$

`=>` $90^0 + 90^0 + \widehat {G} + 90^0 = 360^0$

`=>`$\widehat {G} = 90^0$

`=>` $x = \widehat {G} = 90^0$

Vậy, ` x= 90^0`

`c)`

Xét tứ giác `ABCD:`

$\widehat {A} + \widehat {B} + \widehat {C} + \widehat {D} = 360^0$

`=>` $65^0 + 90^0 + \widehat {C} + 90^0 = 360^0$

`=>` $\widehat {C} = 115^0$

`=>` $\widehat {C} = x = 115^0$

Vậy, `x = 115^0.`

ĐỈnh: C, H, R, L

Đường chéo: CR, HL

Cạnh: CH, HR, RL, CL

a: Các cạnh còn lại của tứ giác luôn nằm trong cùg một mặt phẳng

b: các cạnh còn lại của tứ giác không nằm trong cùng một mặt phẳng được phân chia bởi đường thẳng chứa cạnh BC (hoặc CD) của tứ giác.

c: các cạnh còn lại của tứ giác không nằm trong cùng một mặt phẳng được phân chia bởi đường thẳng chứa cạnh BC (hoặc AD) của tứ giác.

Hình a,b,d là các hình thỏa mãn yêu cầu

- Hai đỉnh đối nhau là: \(M\) và \(P\); \(Q\) và \(N\)

- Hai đường chéo là: \(MP\) và \(QN\)

- Hai cạnh đối nhau là: \(MN\) và \(PQ\); \(MQ\) và \(NP\)

Do tổng số đo bốn góc của một tứ giác bằng \(360^\circ \) nên ta có:

\(\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = 360^\circ \)

\(130^\circ  + \widehat B + 60^\circ  + \widehat D = 360^\circ \)

\(\widehat B + \widehat D = 170^\circ \) (1)

Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta ADC\) ta có:

\(AB = AC\) (gt)

\(BC = DC\) (gt)

\(AC\) chung

\( \Rightarrow \Delta ABC = \Delta ADC\) (c-c-c)

\( \Rightarrow \widehat B = \widehat D\) (hai góc tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat B = \widehat D = \frac{{170^\circ }}{2} = 85^\circ \)