Trong không gian Oxyz, tính khoảng cách từ điểm \(A\left(2;4;-3\right)\) lần lượt đến các mặt phẳng sau :
a) \(2x-y+2z-9=0\)
b) \(12x-5z+5=0\)
c) \(x=0\)
Giải bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ :
Trong không gian Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D cạnh bằng 1 :
a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (AB'D') và (BC'D) song song với nhau ?
b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên ?
Trong không gian Oxyz, cho tứ diện có các đỉnh là \(A\left(5;1;3\right);B\left(1;6;2\right);C\left(5;0;4\right);D\left(4;0;6\right)\) :
a) Hãy viết phương trình của các mặt phẳng (ACD) và (BCD) ?
b) Hãy viết phương trình mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) đi qua cạnh AB và song song với cạnh CD ?
Giải:
a) Mặt phẳng (ACD) đi qua A(5 ; 1 ; 3) và chứa giá của các vectơ (0 ; -1 ; 1)
và (-1 ; -1 ; 3).
Vectơ = (-2 ; -1 ; -1) vuông góc với mặt phẳng (ACD).
Phương trình (ACD) có dạng:
2(x - 5) + (y - 1) + (z - 3) = 0.
hay 2x + y + z - 14 = 0.
Tương tự: Mặt phẳng (BCD) qua điểm B(1 ; 6 ; 2) và nhận vectơ làm vectơ pháp tuyến.
Ta có :(4 ; -6 ; 2),
(3 ; -6 ; 4) và
= (-12 ; -10 ; -6)
Xét (6 ; 5 ; 3) thì
nên
cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (BCD). Phương trình mặt phẳng (BCD) có dạng:
6(x - 1) + 5(y - 6) +3(z - 2) = 0
hay 6x + 5y + 3z - 42 = 0.
b) Mặt phẳng ( α ) qua cạnh AB và song song với CD thì ( α ) qua A và nhận
(-4 ; 5 ; 1) ,
(-1 ; 0 ; 2) làm vectơ chỉ phương.
Vectơ = (10 ; 9 ; 5) là vectơ pháp tuyến của ( α ).
Phương trình mặt phẳng ( α ) có dạng : 10x + 9y + 5z - 74 = 0.
Trả lời bởi Khánh Hà
Xác định các giá trị của m và n để mỗi cặp mặt phẳng sau đây là một cặp mặt phẳng song song với nhau :
a) \(2x+my+3z-5=0\) và \(nx-8y-6z+2=0\)
b) \(3x-5y+mx-3=0\) và \(2x+ny-3z+1=0\)
Trong không gian Oxyz, hãy viết phương trình mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) đi qua điểm \(M\left(2;-1;2\right)\) và song song với mặt phẳng \(\left(\beta\right):2x-y+3z+4=0\) ?
Vectơ →nn→(2 ; -1 ; 3) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( β) .
Vì (α) // ( β) nên →nn→ cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) .
Phương trình mặt phẳng (α) có dạng:
2(x - 2) - (y + 1) + 3(z - 2) = 0
hay 2x - y + 3z -11 = 0.
Trong không gian Oxyz, lập phương trình của mặt phẳng :
a) Chứa trục Ox và điểm \(P\left(4;-1;2\right)\) ?
b) Chứa trục Oy và điểm \(Q\left(1;4;-3\right)\) ?
c) Chứa trục Oz và điểm \(R\left(3;-4;7\right)\) ?
Giải:
a) Gọi (α) là mặt phẳng qua P và chứa trục Ox, thì (α) qua điểm O(0 ; 0 ; 0) và chứa giá của các vectơ (4 ; -1 ; 2) và
( 1 ; 0 ;0). Khi đó
=(0 ; 2 ; 1) là vectơ pháp tuyến của (α).
Phương trình mặt phẳng (α) có dạng: 2y + z = 0.
b) Tương tự phần a) mặt phẳng (β) qua điểm Q(1 ; 4 ; -3) và chứa trục Oy thì (β) qua điểm O( 0 ; 0 ; 0) có (1 ; 4 ; -3) và
(0 ; 1 ; 0) là cặp vectơ chỉ phương.
Phương trình mặt phẳng (β) có dạng : 3x + z = 0.
c) Mặt phẳng (ɣ) qua điểm R(3 ; -4 ; 7) và chứa trục Oz chứa giá của các vectơ
(3 ; -4 ; 7) và
(0 ; 0 ; 1) nhận 2 vectơ này làm vectơ chỉ phương.
Phương trình mặt phẳng (ɣ) có dạng :4x + 3y = 0.
Trả lời bởi Khánh HàTrong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với \(A\left(2;3;7\right);B\left(4;1;3\right)\) ?
Giải:
Cách 1 : Mặt phẳng trung trực (P) của đoạn thẳng AB chính là đoanh thẳng qua trung điểm I của AB và vuông góc với vectơ
Ta có (2 ; -2; -4) và I(3 ; 2 ; 5) nên phương trình mặ phẳng (P) là:
2(x - 3) - 2(y - 2) - 4(z - 5) = 0 hay x- -2y -2z + 9 = 0.
Cách 2: Mặt phẳng trung trực (P) của đoạn thẳng AB là tập hợp điểm M(x ; y ; z) trong không gian sao cho:
MA = MB ⇔ MA2 = MB2
⇔ (x – 2)2 + (y – 3)2 + (z – 7)2 = (x – 4)2 + (y – 1)2 + (z – 3)2
⇔ - 4x + 4 - 6y + 9 - 14z + 49 = - 8x + 16 - 2y + 1 - 6z +9
⇔ 4x - 4y - 8z + 36 = 0
⇔ x - y - 2z + 9 = 0.
Trả lời bởi Khánh HàTrong không gian Oxyz, viết phương trình của mặt phẳng :
a) Đi qua điểm \(M\left(1;-2;4\right)\) và nhận \(\overrightarrow{n}=\left(2;3;5\right)\) làm vectơ pháp tuyến
b) Đi qua điểm \(A\left(0;-1;2\right)\) và song song với giá của mỗi vectơ \(\overrightarrow{u}=\left(3;2;1\right)\) và \(\overrightarrow{v}=\left(-3;0;1\right)\)
c) Đi qua 3 điểm \(A\left(-3;0;0\right);B\left(0;-2;0\right);C\left(0;0;-1\right)\)
Giải:
a) Măt phẳng (P) đi qua điểm M(1; -2; 4) và nhận = (2; 3; 5) làm vectơ pháp tuyến có phương trình:
2(x - 1) + 3(x +2) + 5(z - 4) = 0 ⇔ (P) : 2x + 3y + 5z -16 = 0.
b) Xét = (2 ; -6 ; 6), khi đó
⊥ (Q) là mặt phẳng qua A (0 ; -1 ; 2) và song song với
,
(nhận
,
làm vectơ chỉ phương).
Phương trình mặt phẳng (Q) có dạng:
2(x - 0) - 6(y + 1) + 6(z - 2) = 0 ⇔ (Q) :x - 3y + 3z - 9 = 0
c) Gọi (R) là mặt phẳng qua A, B, C khi đó ,
là cặp vectơ chỉ phương của (R).
= (2 ; 3 ; 6)
Vậy phương trình mặt phẳng (R) có dạng: 2x + 3y + 6z + 6 = 0
Trả lời bởi Khánh HàTrong không gian Oxyz
a) Lập phương trình của các mặt phẳng tọa độ \(\left(Oxy\right),\left(Oyz\right),\left(Oxz\right)\) ?
b) Lập phương trình của các mặt phẳng đi qua điểm \(M\left(2;6;-3\right)\) và lần lượt song song với các mặt phẳng tọa độ ?
Giải:
a) Mặt phẳng (Oxy) qua điểm O(0 ; 0 ; 0) và có vectơ pháp tuyến (0 ; 0 ; 1) và là vectơ chỉ phương của trục Oz. Phương trình mặt phẳng (Oxy) có dạng:
0.(x - 0) +0.(y - 0) +1.(z - 0) = 0 hay z = 0.
Tương tự phương trình mặt phẳng (Oyz) là : x = 0 và phương trình mặt phẳng (Ozx) là: y = 0.
b) Mặt phẳng (P) qua điểm M(2; 6; -3) song song với mặt phẳng Oxy nhận (0 ; 0 ; 1) làm vectơ pháp tuyến. Phương trình mặt phẳng (P) có dạng: z +3 = 0.
Tương tự mặt phẳng (Q) qua M và song song với mặt phẳng Oyz có phương trình x - 2 = 0.
Mặt phẳng qua M song song với mặt phẳng Oxz có phương trình y - 6 = 0.
Trả lời bởi Khánh HàTrong không gian Oxyz, lập phương trình mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) đi qua hai điểm \(A\left(1;0;1\right);B\left(5;2;3\right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left(\beta\right):2x-y+z-7=0\) ?
Trả lời bởi Hai Binh