Bài 2. Phương trình bậc hai một ẩn

Gọi x (m) là chiều rộng tấm thảm (x > 0) suy ra chiều dài là x + 2 (m).

Biết diện tích tấm thảm bằng 24 m² nên ta có phương trình:

x.(x + 2) = 24 hay x² + 2x = 24.

a) Phương trình - 7x² = 0 là phương trình bậc hai một ẩn với a = -7; b = 0; c = 0.

b) Phương trình \( - 12{x^2} + 7x - \sqrt 3  = 0\) là phương trình bậc hai một ẩn với a = -12;

b = 7; c = \( - \sqrt 3 \).

c) Phương trình \({x^3} + 5x - 6 = 0\) không là phương trình bậc hai một ẩn.

d) Phương trình \({x^2} - (m + 2)x + 7 = 0\) là phương trình bậc hai một ẩn với a = 1;

b = - ( m + 2) ; c = 7.

a) i) \(3{x^2} - 12x = 0\)

\(3x\left( {x - 4} \right) = 0\)

\(3x = 0\) hoặc \(x - 4 = 0\)

\(x = 0\) hoặc \(x = 4\)

Vậy phương trình có hai nghiệm là \( x = 0\) và \( x = 4\).

ii) \({x^2} - 16 = 0\)

\(\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right) = 0\)

\(x - 4 = 0\) hoặc \(x + 4 = 0\)

\(x = 4\) hoặc \(x = -4\)

Vậy phương trình có hai nghiệm là \(x = 4\) và \(x = -4\).

b) Để đưa các phương trình bậc hai dạng đặc biệt trên về phương trình tích ta đã dùng phương pháp đặt nhân tử chung và hằng đẳng thức.

a) \(3{x^2} - 27 = 0\)

\(\begin{array}{l}3{x^2} = 27\\{x^2} = 9\\{x^2} = {3^2}\end{array}\)

x = 3 hoặc x = -3

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 3 và x = -3.

b) \({x^2} - 10x + 25 = 16\)

\({\left( {x - 5} \right)^2} = 16\)

\(x - 5 = 4\) hoặc \({x - 5 =  - 4}\)

\({x = 9}\) hoặc \({x = 1}\)

Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 9 và x = 1.

a) \({x^2} - 4x + 4 = 1\) hay \({\left( {x - 2} \right)^2} = 1\)

b) Giải phương trình (*), ta được:

\(\left( {x - 2} \right)^2 = 1\)

\({x - 2 = 1}\) hoặc \(x - 2 =  - 1\)

\(x = 3\) hoặc \({x = 1}\)

Vậy phương trình (*) có hai nghiệm là x = 3 và x = 1.

a) \(7{x^2} - 3x + 2 = 0\)

Ta có a = 7, b = -3, c = 2

\(\Delta  = {( - 3)^2} - 4.7.2\)= - 47 < 0.

Vậy phương trình vô nghiệm.

b) \(3{x^2} - 2\sqrt 3 x + 1 = 0\)

Ta có a = 3, b = \( - 2\sqrt 3 \), c = 1

\(\Delta  = {( - 2\sqrt 3 )^2} - 4.3.1\) = 0

Vậy phương trình có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)

c) \( - 2{x^2} + 5x + 2 = 0\)

Ta có a = -2, b = 5, c = 2

\(\Delta  = {5^2} - 4.( - 2).2\) = 41 > 0

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

\({x_1} = \frac{{ - 5 + \sqrt {41} }}{{ - 4}} = \frac{{5 - \sqrt {41} }}{4};{x_2} = \frac{{ - 5 - \sqrt {41} }}{{ - 4}} = \frac{{5 + \sqrt {41} }}{4}\)

a) \(5{x^2} - 12x + 4 = 0\)

Ta có a = 5, b’ = - 6, c = 4

\(\Delta ' = {( - 6)^2} - 5.4 = 16 > 0\)

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là \({x_1} = \frac{{6 + \sqrt {16} }}{5} = 2,{x_2} = \frac{{6 - \sqrt {16} }}{5} = \frac{2}{5}\)

b) \(5{x^2} - 2\sqrt 5 x + 1 = 0\)

Ta có a = 5, b’ = \( - \sqrt 5 \) , c = 1

\(\Delta ' = {( - \sqrt 5 )^2} - 5.1 = 0\)

Vậy phương trình có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\).

Khi bóng chạm đất  thì chiều cao h = 0 nên ta có phương trình: 2 + 9t – 5t² = 0

Giải phương trình 2 + 9t – 5t² = 0, (t > 0) ta có: a = -5, b = 9, c = 2.

\(\Delta  = {9^2} - 4.( - 5).2 = 121 > 0\)

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

\({t_1} = \frac{{ - 9 + \sqrt {121} }}{{2.( - 5)}} = \frac{{ - 1}}{5}(L);{t_2} = \frac{{ - 9 - \sqrt {121} }}{{2.( - 5)}} = 2(TM)\)

Vậy thời gian từ lúc ném cho đến khi bóng chạm đất là 2 giây.

a) \(3{x^2} - 8x + 4 = 0\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt là: \({x_1} = 2,{x_2} = \frac{2}{3}\)

b) \(5{x^2} - 2\sqrt 5 x + 12 = 0\)

Phương trình vô nghiệm.

c) \(2{x^2} - 8x + 8 = 0\)

Phương trình có nghiệm kép là: \({x_1} = {x_2} = 2\).

Gọi x (m) là chiều rộng của mảnh đất (0 < x < 50).

Ta có chu vi 100 m nên chiều dài của mảnh đất là: 50 – x (m)

Mặt khác, diện tích là 576 m² nên ta có phương trình biểu thị mối liên hệ giữa chiều rộng, chiều dài và diện tích của mảnh đất là:

x(50 – x) = 576 suy ra – x² + 50x – 576 = 0.