Bài 2. Giới hạn của hàm số

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{2x}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( {2x} \right).\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{1}{{x - 3}}\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( {2x} \right) = 2\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} x = 2.3 = 6;\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{1}{{x - 3}} =  - \infty \)

\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{2x}}{{x - 3}} =  - \infty \)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {3x - 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } x\left( {3 - \frac{1}{x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } x.\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {3 - \frac{1}{x}} \right)\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } x =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {3 - \frac{1}{x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } 3 - \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{1}{x} = 3 - 0 = 3\)

\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {3x - 1} \right) =  + \infty \)

Giả sử điểm \(M\) có hoành độ là \(x\).

Độ dài \(OH\) là hoành độ của điểm \(M\). Vậy \(OH = x\).

Độ dài \(OK\) là tung độ của điểm \(M\). Vậy \(OK = \frac{1}{{{x^2}}}\).

\(S\left( x \right) = OH.OK = x.\frac{1}{{{x^2}}} = \frac{1}{x}\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} S\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{x} =  + \infty \). Vậy diện tích \(S\left( x \right)\) trở nên rất lớn khi \(x \to {0^ + }\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } S\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{1}{x} = 0\). Vậy diện tích \(S\left( x \right)\) dần về 0 khi \(x \to  + \infty \).

a: \(\lim\limits_{x\rightarrow-2}x^2-7x+4=\left(-2\right)^2-7\cdot\left(-2\right)+4=22\)

b: \(\lim\limits_{x\rightarrow3}\dfrac{x-3}{x^2-9}=\lim\limits_{x\rightarrow3}\dfrac{1}{x+3}=\dfrac{1}{3+3}=\dfrac{1}{6}\)

c: \(\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{3-\sqrt{x+8}}{x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{9-x-8}{3+\sqrt{x+8}}\cdot\dfrac{1}{x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{-1}{3+\sqrt{x+8}}\)

\(=-\dfrac{1}{6}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} x = 1\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( { - {x^2}} \right) =  - {1^2} =  - 1\).

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {\rm{ }}f\left( x \right)\) nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)\).

a: \(=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{4+\dfrac{3}{x}}{2}=\dfrac{4}{2}=2\)

b: \(=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{\dfrac{2}{x}}{3+\dfrac{1}{x}}=0\)

c: \(=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}}{1+\dfrac{1}{x}}=1\)

a: \(\lim\limits_{x\rightarrow-1^+}x+1=0\)

=>\(\lim\limits_{x\rightarrow-1^+}\dfrac{1}{x+1}=+\infty\)

b: \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}1-x^2=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left[x^2\left(\dfrac{1}{x^2}-1\right)\right]\)

\(=-\infty\)

c: \(\lim\limits_{x\rightarrow3^-}\dfrac{x}{3-x}=\lim\limits_{x\rightarrow3^-}=\dfrac{-x}{x-3}\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow3^-}x-3=0\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow3^-}-x=3>0\)

=>\(\lim\limits_{x\rightarrow3^-}\dfrac{x}{3-x}=+\infty\)

a) Lượng nước biển bơm vào hồ sau \(t\) phút là: \(15t\) (lít).

Khối lượng muối có trong hồ sau \(t\) phút là: \(30.15t\) (gam).

Sau \(t\) phút kể từ khi bắt đầu bơm, lượng nước trong hồ là: \(6000 + 15t\) (lít).

Nồng độ muối tại thời điểm \(t\) phút kể từ khi bắt đầu bơm là: \(C\left( t \right) = \frac{{30.15t}}{{6000 + 15t}} = \frac{{30.15t}}{{15\left( {400 + t} \right)}} = \frac{{30t}}{{400 + t}}\)(gam/lít).

b) \(\mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } C\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } \frac{{30t}}{{400 + t}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } \frac{{30t}}{{t\left( {\frac{{400}}{t} + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } \frac{{30}}{{\frac{{400}}{t} + 1}} = \frac{{30}}{{0 + 1}} = 30\) (gam/lít).

Vậy nồng độ muối trong hồ càng dần về 30 gam/lít, tức là nước trong hồ gần như là nước biển, khi \(t \to  + \infty \).

a) \(\mathop {\lim }\limits_{d \to {f^ + }} g\left( d \right) = \mathop {\lim }\limits_{d \to {f^ + }} \frac{{df}}{{d - f}} = \mathop {\lim }\limits_{d \to {f^ + }} \left( {df} \right).\mathop {\lim }\limits_{d \to {f^ + }} \frac{1}{{d - f}}\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{d \to {f^ + }} \left( {df} \right) = f\mathop {\lim }\limits_{d \to {f^ + }} d = {f^2};\mathop {\lim }\limits_{d \to {f^ + }} \frac{1}{{d - f}} =  + \infty \)

\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{d \to {f^ + }} g\left( d \right) = \mathop {\lim }\limits_{d \to {f^ + }} \frac{{df}}{{d - f}} =  + \infty \)

Ý nghĩa: Khi vật dần đến tiêu điểm từ phía xa thấu kính đến gần thấu kính thì khoảng cách từ ảnh đến thấu kính dần đến \( + \infty \).

b) \(\mathop {\lim }\limits_{d \to  + \infty } g\left( d \right) = \mathop {\lim }\limits_{d \to  + \infty } \frac{{df}}{{d - f}} = \mathop {\lim }\limits_{d \to  + \infty } \frac{{df}}{{d\left( {1 - \frac{f}{d}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{d \to  + \infty } \frac{f}{{1 - \frac{f}{d}}} = \frac{f}{{1 - 0}} = f\)

Ý nghĩa: Khi khoảng cách từ vật đến thấu kính càng xa thì ảnh tiến dần đến tiêu điểm của ảnh \(\left( {F'} \right)\).