Bài 2. Giới hạn của hàm số

a) Khối lượng muối có trong hồ là: \(200.10 = 2000\left( {kg} \right)\).

Sau \(t\) phút kể từ khi bắt đầu bơm, lượng nước trong hồ là: \(200 + 2t\left( {{m^3}} \right)\).

Nồng độ muối tại thời điểm \(t\) phút kể từ khi bắt đầu bơm là: \(C\left( t \right) = \frac{{2000}}{{200 + 2t}}\left( {kg/{m^3}} \right)\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } C\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } \frac{{2000}}{{200 + 2t}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } \frac{{2000}}{{t\left( {\frac{{200}}{t} + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } \frac{1}{t}.\mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } \frac{{2000}}{{\frac{{200}}{t} + 2}}\)

                          \( = \mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } \frac{1}{t}.\frac{{\mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } 2000}}{{\mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } \frac{{200}}{t} + \mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } 2}} = 0.\frac{{2000}}{{0 + 2}} = 0\)

Ý nghĩa: Khi \(t\) càng lớn thì nồng độ muối càng dần về 0, tức là đến một lúc nào đó nồng độ muối trong hồ không đáng kể, nước trong hồ gần như là nước ngọt.

a)

Giá trị \(f\left( x \right)\) trở nên rất lớn khi \(x\) dần tới 1 phía bên phải.

b)

Giá trị \(f\left( x \right)\) trở nên rất bé khi \(x\) dần tới 1 phía bên trái.

a) Khi \(x \in \left( {1;2,5} \right)\) thì \(f\left( {{x_n}} \right) = 7\) nên \(\lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim 7 = 7\).

b) Khi \({x_n}' \in \left( {0;1} \right)\) thì \(f\left( {{x_n}'} \right) = 6\) nên \(\lim f\left( {{x_n}'} \right) = \lim 6 = 6\).

c) Ta thấy \(\lim {x_n} = \lim {x_n}' = 1\) nhưng \(\lim f\left( {{x_n}} \right) \ne \lim f\left( {{x_n}'} \right)\)

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{1 - 3{x^2}}}{{{x^2} + 2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{{x^2}\left( {\frac{1}{{{x^2}}} - 3} \right)}}{{{x^2}\left( {1 + \frac{{2x}}{{{x^2}}}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\frac{1}{{{x^2}}} - 3}}{{1 + \frac{2}{x}}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{1}{{{x^2}}} - \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } 3}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } 1 + \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{2}{x}}} = \frac{{0 - 3}}{{1 + 0}} =  - 3\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{2}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{2}{{x\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{1}{x}.\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{2}{{1 + \frac{1}{x}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{1}{x}.\frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } 2}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } 1 + \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{1}{x}}} = 0.\frac{2}{{1 + 0}} = 0\).

a) Giả sử \(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số bất kì, \({x_n} >  - 1\) và \({x_n} \to  - 1\). Khi đó \(f\left( {{x_n}} \right) = x_n^2 + 2\)

Ta có: \(\lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim \left( {x_n^2 + 2} \right) = \lim x_n^2 + \lim 2 = {\left( { - 1} \right)^2} + 2 = 3\)

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} f\left( x \right) = 3\).

Giả sử \(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số bất kì, \({x_n} <  - 1\) và \({x_n} \to  - 1\). Khi đó \(f\left( {{x_n}} \right) = 1 - 2{x_n}\).

Ta có: \(\lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim \left( {1 - 2{x_n}} \right) = \lim 1 - \lim \left( {2{x_n}} \right) = \lim 1 - 2\lim {x_n} = 1 - 2.\left( { - 1} \right) = 3\)

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} f\left( x \right) = 3\).

b) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} {\rm{ }}f\left( x \right) = 3\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} f\left( x \right) = 3\).

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \left( {{x^2} + 5x - 2} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} {x^2} + \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \left( {5x} \right) - \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} 2\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} {x^2} + 5\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} x - \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} 2 = {\left( { - 2} \right)^2} + 5.\left( { - 2} \right) - 2 =  - 8\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} x + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} 1 = 1 + 1 = 2\)

a) Đặt \(f\left( x \right) = 2{x^2} - x\).

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\).

Giả sử \(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số bất kì thỏa mãn \({x_n} \to 3\) khi \(n \to  + \infty \). Ta có:

\(\lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim \left( {2x_n^2 - {x_n}} \right) = 2.\lim x_n^2 - \lim {x_n} = {2.3^2} - 3 = 15\).

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {2{x^2} - x} \right) = 15\).

b) Đặt \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x + 1}}\).

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\).

Giả sử \(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số bất kì thỏa mãn \({x_n} \to  - 1\) khi \(n \to  + \infty \). Ta có:

\(\lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim \frac{{x_n^2 + 2{x_n} + 1}}{{{x_n} + 1}} = \lim \frac{{{{\left( {{x_n} + 1} \right)}^2}}}{{{x_n} + 1}} = \lim \left( {{x_n} + 1} \right) = \lim {x_n} + 1 =  - 1 + 1 = 0\).

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x + 1}} = 0\).

a) Khi \(x\) càng gần đến 1 thì giá trị của hàm số càng gần đến 4.

b) Khi điểm \(H\) thay đổi gần về điểm \(\left( {1;0} \right)\) trên trục hoành thì điểm \(P\) càng gần đến điểm \(\left( {0;4} \right)\).

a) \(\lim \left[ {f\left( {{x_n}} \right) + g\left( {{x_n}} \right)} \right] = \lim \left( {2{x_n} + \frac{{{x_n}}}{{{x_n} + 1}}} \right) = 2\lim {x_n} + \lim \frac{{{x_n}}}{{{x_n} + 1}} = 2.1 + \frac{1}{{1 + 1}} = \frac{5}{2}\)

b) Vì \(\lim \left[ {f\left( {{x_n}} \right) + g\left( {{x_n}} \right)} \right] = \frac{5}{2}\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = \frac{5}{2}\) (1).

Ta có:   \(\lim {\rm{ }}f\left( {{x_n}} \right) = \lim 2{x_n} = 2\lim {x_n} = 2.1 = 2 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {\rm{ }}f\left( x \right) = 2\)

\(\lim g\left( {{x_n}} \right) = \lim \frac{{{x_n}}}{{{x_n} + 1}} = \lim \frac{{{x_n}}}{{{x_n} + 1}} = \frac{1}{{1 + 1}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {\rm{ }}g\left( x \right) = \frac{1}{2}\)

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {\rm{ }}f\left( x \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right) = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {\rm{ }}f\left( x \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right)\)

a)

Giá trị \(f\left( x \right)\) dần về 0 khi \(x\) càng lớn (dần tới \( + \infty \)).

b)

Giá trị \(f\left( x \right)\) dần về 0 khi \(x\) càng bé (dần tới \( - \infty \)).