Bài 15. Độ dài của cung tròn. Diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên

a) Xét \(\Delta OAB\) và \(\Delta OAC\) có:

OA chung

OA = OC = R

AB = AC (do \(\Delta ABC\) cân tại A)

\(\Rightarrow \Delta OAB=\Delta OAC\) (c.c.c)

\(\Rightarrow \widehat{AOB}=\widehat{AOC}\)(hai góc tương ứng)

\(\Rightarrow \) sđ\(\overset\frown{AB}=\) sđ \(\overset\frown{AC}\)

\(\Rightarrow \overset\frown{AB}=\overset\frown{AC}\)

b) Độ dài cung BC là:

\(\frac{{70}}{{180}}.\pi .4 = \frac{{14}}{9}\pi \approx \frac{{14}}{9}.3,14 \approx 4,9 \)(cm)

Ta có: \(\widehat {AOB} + \widehat {AOC} + \widehat {BOC} = 360^\circ \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2.\widehat {AOB} + 70^\circ  = 360^\circ \\ \Rightarrow 2.\widehat {AOB}\,\, = 290^\circ \\ \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\widehat {AOB}\,\, = 145^\circ \end{array}\)

Độ dài cung AB và cung AC là: \(\frac{{145}}{{180}}.\pi .4 = \frac{{29}}{9}\pi \approx \frac{{29}}{9}.3,14 \approx  10,1 \)(cm)

Diện tích của hình quạt tròn bán kính 4 cm, ứng với cung \(36^\circ \) là:

\(\frac{{{\rm{36}}}}{{{\rm{360}}}}{\rm{.\pi }}{\rm{.}}{{\rm{4}}^{\rm{2}}}{\rm{ = 1,6\pi }}\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\)

Diện tích hình vành khuyên nằm giữa hai đường tròn đồng tâm có bán kính là 6 cm và 4 cm là: \(\pi \left( {{6^2} - {4^2}} \right) = 20\pi \left( {c{m^2}} \right)\).

Diện tích bề mặt của mỗi miếng bánh cắt ra từ chiếc bánh thứ nhất là:

\(\frac{{\pi.{\left({\frac{16}{2}}\right)^2}}}{6} = \frac{{32}}{3}\pi \left( {c{m^2}} \right)\)

Diện tích bề mặt của mỗi miếng bánh cắt ra từ chiếc bánh thứ hai là:

\(\frac{{\pi.{\left({\frac{18}{2}}\right)^2}}}{8} = \frac{{81}}{8}\pi \left( {c{m^2}} \right)\)

Vì \(\frac{{32}}{3}\pi  > \frac{{81}}{8}\pi \left( {c{m^2}} \right)\) nên miếng bánh cắt ra từ chiếc bánh thứ nhất lớn hơn chiếc bánh thứ hai.

Bán kính đường tròn nhỏ là:

\(2,2 - 1,6 = 0,6 (dm)\)

Diện tích hình vành khuyên là: 

\(\pi.\left(22^2 - 0,6^2\right) = 4,48\pi (dm^2)\)

Diện tích phần giấy của chiếc quạt là:

\(4,48\pi : 2 = 2,24\pi \approx 2,24.3,14 \approx 7,03 \left( {d{m^2}} \right)\)