Bài 1. Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

a. \(\frac{1}{x} = \frac{5}{{3\left( {x + 2} \right)}}\)

Điều kiện xác định: \(x \ne 0\) và \(x \ne  - 2\).

\(\frac{1}{x} = \frac{5}{{3\left( {x + 2} \right)}}\)

\(\begin{array}{l}\frac{{3\left( {x + 2} \right)}}{{3x\left( {x + 2} \right)}} = \frac{5}{{3x\left( {x + 2} \right)}}\\3\left( {x + 2} \right) = 5\\3x + 6 - 5 = 0\\3x + 1 = 0\end{array}\)

\(x = \frac{{ - 1}}{3}\) .

Ta thấy \(x =  - \frac{1}{3}\) thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x =  - \frac{1}{3}\).

b. \(\frac{x}{{2x - 1}} = \frac{{x - 2}}{{2x + 5}}\)

Điều kiện xác định: \(x \ne \frac{1}{2}\) và \(x \ne  - \frac{5}{2}\).

\(\frac{x}{{2x - 1}} = \frac{{x - 2}}{{2x + 5}}\)

\(\begin{array}{l}\frac{{x\left( {2x + 5} \right)}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 5} \right)}} = \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {2x - 1} \right)}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 5} \right)}}\\x\left( {2x + 5} \right) = \left( {x - 2} \right)\left( {2x - 1} \right)\\2{x^2} + 5x = 2{x^2} - x - 4x + 2\\2{x^2} + 5x - 2{x^2} + x + 4x - 2 = 0\\10x - 2 = 0\end{array}\)

\(x = \frac{1}{5}\).

Ta thấy \(x = \frac{1}{5}\) thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy \(x = \frac{1}{5}\) là nghiệm của phương trình đã cho.

c. \(\frac{{5x}}{{x - 2}} = 7 + \frac{{10}}{{x - 2}}\)

Điều kiện xác định: \(x \ne 2\).

\(\frac{{5x}}{{x - 2}} = 7 + \frac{{10}}{{x - 2}}\)

\(\begin{array}{l}\frac{{5x}}{{x - 2}} = \frac{{7\left( {x - 2} \right)}}{{x - 2}} + \frac{{10}}{{x - 2}}\\5x = 7x - 14 + 10\\5x - 7x + 14 - 10 = 0\\2x + 4 = 0\end{array}\)

\(x =  - 2\).

Ta thấy \(x =  - 2\) thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy \(x =  - 2\) là nghiệm của phương trình đã cho.

d. \(\frac{{{x^2} - 6}}{x} = x + \frac{3}{2}\)

Điều kiện xác định: \(x \ne 0\).

\(\frac{{{x^2} - 6}}{x} = x + \frac{3}{2}\)

\(\begin{array}{l}\frac{{2\left( {{x^2} - 6} \right)}}{{2x}} = \frac{{2{x^2}}}{{2x}} + \frac{{3x}}{{2x}}\\2\left( {{x^2} - 6} \right) = 2{x^2} + 3x\\2{x^2} - 12 = 2{x^2} + 3x\\2{x^2} - 12 - 2{x^2} - 3x = 0\\ - 3x - 12 = 0\end{array}\)

\(x =  - 4\).

Ta thấy \(x =  - 4\) thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy \(x =  - 4\) là nghiệm của phương trình đã cho.

Gọi tốc độ của dòng nước là: \(x\) (km/h, 0 < x < 27)

Vận tốc cano khi xuôi dòng là:\(27 + x\) (km/h);

Vận tốc cano khi ngược dòng là: \(27 - x\) (km/h);

Thời gian cano khi xuôi dòng là: \(\frac{{40}}{{27 + x}}\) (giờ);

Thời gian cano khi ngược dòng là: \(\frac{{40}}{{27 - x}}\) (giờ).

Do thời gian cả đi và về là 3 giờ nên ta có phương trình:

\(\frac{{40}}{{27 + x}} + \frac{{40}}{{27 - x}} = 3\)

\(\frac{{40\left( {27 - x} \right)}}{{\left( {27 + x} \right)\left( {27 - x} \right)}} + \frac{{40\left( {27 + x} \right)}}{{\left( {27 + x} \right)\left( {27 - x} \right)}} = \frac{{3\left( {27 + x} \right)\left( {27 - x} \right)}}{{\left( {27 + x} \right)\left( {27 - x} \right)}}\)

\(1080 - 40x + 1080 + 40x = 3\left( {729 - {x^2}} \right)\)

\(2160 = 2187 - 3{x^2}\)

\(3{x^2} - 27 = 0\)

\(3{x^2} = 27\)

\({x^2} = 9\)

\(x = 3\) (Thỏa mãn điều kiện).

Vậy tốc độ của dòng nước là 3 (km/h).

Với chi phí là 420 triệu đồng ta có: \(420 = \frac{{80}}{{100 - p}}\)

\(4200 - 420p = 80\)

\(420p = 4120\)

\(p \approx 9,8\).

Vậy với chi phí là 420 triệu đồng thì doanh nghiệp loại bỏ được 9,8% chất gây ô nhiễm trong khí thải.

Gọi giá tiền của mỗi chiếc áo bạn Hoa đã mua là \(x\) (nghìn đồng, \(0 < x < 600\)).

Giá tiền của mỗi chiếc áo bạn Hoa dự định mua là: \(x - 30\) (nghìn đồng)

Số lượng áo bạn Hoa đã mua là: \(\frac{{600}}{x}\) (chiếc)

Số lượng áo bạn Hoa dự định mua là: \(\frac{{600}}{{x - 30}}\) (chiếc)

Do bạn Hoa đã mua được số lượng áo gấp 1,25 lần so với số lượng dự định nên ta có phương trình:

\(1,25.\frac{{600}}{x} = \frac{{600}}{{x - 30}}\)

\(\frac{{750\left( {x - 30} \right)}}{{x\left( {x - 30} \right)}} = \frac{{600x}}{{x\left( {x - 30} \right)}}\)

\(750x - 22500 = 600x\)

\(750x - 600x = 22500\)

\(150x = 22500\)

\(x = 150\)(Thoả mãn điều kiện).

Vậy giá tiền mỗi chiếc áo bạn Hoa đã mua là 150 nghìn đồng.

Nửa chu vi của mảnh đất là: \(52:2 = 26\left( m \right)\)

Gọi chiều dài của mảnh đất là \(x\left( {m,2 < x < 26} \right)\).

Chiều rộng của mảnh đất là: \(26 - x\,\left( m \right)\)

Chiều dài của vườn rau là: \(x - 2\,\,\left( m \right)\)

Chiều rộng của vườn rau là: \(26 - x - 2 = 24 - x\,\,\left( m \right)\)

Do diện tích của vườn rau là \(112{m^2}\) nên ta có phương trình:

\(\left( {x - 2} \right)\left( {24 - x} \right) = 112\)

\(24x - {x^2} - 48 + 2x - 112 = 0\)

\( - {x^2} + 26x - 160 = 0\)

\({x^2} - 26x + 160 = 0\)

\({\left( {x - 13} \right)^2} - 9 = 0\)

\(\left( {x - 13 - 3} \right)\left( {x - 13 + 3} \right) = 0\)

\(\left( {x - 16} \right)\left( {x - 10} \right) = 0\).

Để giải phương trình trên, ta giải hai phương trình sau:

*) \(x - 16 = 0\)                                         

\(x = 16\);                                                      

*) \(x - 10 = 0\)

\(x = 10\).

Vậy chiều dài của mảnh đất là \(16\left( m \right)\)

Chiều rộng của mảnh đất là \(10\left( m \right)\)