Bài 1. Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

Gọi số ngày đội công nhân hoàn thành công việc là: x (ngày, x > 0).

Thời gian làm việc của đội ở mỗi giai đoạn là: \(\frac{x}{2}\) (ngày).

Năng suất lao động của đội ở giai đoạn 1 là: \(3600:\frac{x}{2} = 7200x\) (\(m^2\)/ngày).

Giai đoạn 2 đội trải được: \(8100 - 3600 = 4500\left( {{m^2}} \right)\)

Năng suất lao động của đội ở giai đoạn 2 là: \(4500:\frac{x}{2} = 9000x\) (\(m^2\)/ngày).

Do giai đoạn hai, đội công nhân tăng năng suất thêm \(300\) (\(m^2\)/ngày). Ta có phương trình:

\(9000x - 7200x = 300\).

Giải phương trình: \(9000x - 7200x = 300\)

                       \(1800x = 300\)

                       \(x = \frac{1}{6}\) (thỏa mãn điều kiện x > 0).

Vậy đội công nhân hoàn thành công việc trong \(\frac{1}{6}\) ngày.

a. \(\left( {9x - 4} \right)\left( {2x + 5} \right) = 0\)

Để giải phương trình đã cho, ta giải hai phương trình sau:

*) \(9x - 4 = 0\)

\(x = \frac{4}{9}\);

*) \(2x + 5 = 0\)

\(x =  - \frac{5}{2}\).

Vậy phương trình có nghiệm \(x = \frac{4}{9}\) và \(x =  - \frac{5}{2}\).

b. \(\left( {1,3x + 0,26} \right)\left( {0,2x - 4} \right) = 0\)

Để giải phương trình đã cho, ta giải hai phương trình sau:

*) \(1,3x + 0,26 = 0\)                           

\(x = 0,2\);                                             

*) \(0,2x - 4 = 0\)

\(x = 20\).

Vậy phương trình có nghiệm \(x = 0,2\) và \(x = 20\).

c. \(2x\left( {x + 3} \right) - 5\left( {x + 3} \right) = 0\)

\(\left( {2x - 5} \right)\left( {x + 3} \right) = 0\).

Để giải phương trình đã cho, ta giải hai phương trình sau:

*) \(2x - 5 = 0\)                                       

\(x = \frac{5}{2}\);                                                     

*) \(x + 3 = 0\)

\(x =  - 3\).

Vậy phương trình có nghiệm \(x = \frac{5}{2}\) và \(x =  - 3\).

d. \({x^2} - 4 + \left( {x + 2} \right)\left( {2x - 1} \right) = 0\)

\(\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) + \left( {x + 2} \right)\left( {2x - 1} \right) = 0\)

\(\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2 + 2x - 1} \right) = 0\)

\(\left( {x + 2} \right)\left( {3x - 3} \right) = 0\)

Để giải phương trình đã cho, ta giải hai phương trình sau:

*) \(x + 2 = 0\)                                             

\(x =  - 2\);                                                         

*) \(3x - 3 = 0\)

\(x = 1\).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x =  - 2\) và \(x = 1\).

Để mẫu thức trong phương trình (1) khác 0.

\(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x - 2 \ne 0\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x \ne 2\end{array} \right.\)

Vậy \(x \ne 0;x \ne 2\) thì mẫu thức trong phương trình (1) khác 0.

Điều kiện xác định: \(x \ne 2\) và \(x \ne 3\)

\(\frac{x}{{x - 2}} + \frac{1}{{x - 3}} = \frac{2}{{\left( {2 - x} \right)\left( {x - 3} \right)}}\)

\(\begin{array}{l}\frac{{x\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} + \frac{{x - 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} =  - \frac{2}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}\\\frac{{{x^2} - 3x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} + \frac{{x - 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} =  - \frac{2}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}\\{x^2} - 3x + x - 2 =  - 2\\{x^2} - 2x - 2 + 2 = 0\\{x^2} - 2x = 0\end{array}\)

\(x\left( {x - 2} \right) = 0\).

Để giải phương trình trên, ta giải hai phương trình:

*) \(x = 0\).                                               *)\(x - 2 = 0\)

                                                               \(x = 2\).

Ta thấy:

+ \(x = 0\) thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình;

+ \(x = 2\) không thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = 0\).

Điều kiện xác định của phương trình \(\frac{{x - 8}}{{x - 7}} = 8 + \frac{1}{{1 - x}}\)  là \(x - 7 \ne 0\) và \(1 - x \ne 0\) hay \(x \ne 7\) và \(x \ne 1\).

a. \({x^2} - 10x + 25 = 5\left( {x - 5} \right)\)

Ta có: \({x^2} - 10x + 25 = 5\left( {x - 5} \right)\)

\(\begin{array}{l}{\left( {x - 5} \right)^2} = 5\left( {x - 5} \right)\\{\left( {x - 5} \right)^2} - 5\left( {x - 5} \right) = 0\\\left( {x - 5} \right)\left( {x - 5 - 5} \right) = 0\end{array}\)

\(\left( {x - 5} \right)\left( {x - 10} \right) = 0.\)

Để giải phương trình trên, ta giải hai phương trình sau:

*) \(x - 5 = 0\)  

    \(x = 5;\)  

*) \(x - 10 = 0\)

\(x = 10.\)   

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x = 5\) và \(x = 10\).

a. Nhận xét: u = 0 hoặc v = 0.

b.

Ý 1:

+ Ta có: \(x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3\).

+ Ta có: \(2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x =  - \frac{1}{2}\).

Ý 2:

+ Thay \(x = 3\) vào phương trình \(\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 1} \right) = 0\) ta được:

\(\left( {3 - 3} \right)\left( {2.3 + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 0.7 = 0 \Leftrightarrow 0 = 0\) (luôn đúng).

Vậy \(x = 3\) là nghiệm của phương trình \(\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 1} \right) = 0\).

+ Thay \(x =  - \frac{1}{2}\) vào phương trình \(\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 1} \right) = 0\) ta được:

\(\left( { - \frac{1}{2} - 3} \right)\left[ {2.\left( { - \frac{1}{2}} \right) + 1} \right] = 0 \Leftrightarrow  - \frac{7}{2}.0 = 0 \Leftrightarrow 0 = 0\) (luôn đúng).

Vậy \(x =  - \frac{1}{2}\)  là nghiệm của phương trình \(\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 1} \right) = 0\).

Ý 3:

Khi \(x = x_0^{}\) là nghiệm của phương trình \(\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 1} \right) = 0\)  thì \(x = x_0^{}\) có là nghiệm của phương trình \(x - 3 = 0\) hoặc phương trình \(2x + 1 = 0\).

+ Ta có: AE = 50m, GC = 25m, AB là độ dài cạnh khu đất cần tìm.

+ Ta có: AE = 50m, GC = 25m, AB là độ dài cạnh khu đất cần tìm.

+ Ta chia khu đất thành các hình:

- Hình vuông AEFH, FGCI.

- Hình chữ nhật EBGF, HFID.

+ Ta có: IC = FG = EB = GC.

Suy ra AB = AE + EB = 50 + 25 = 75 (m).

Suy ra Độ dài cạnh khu đất cần tìm là: 75m.

Để giải phương trình trên ta giải hai phương trình sau:

*)\(4x + 5 = 0\)                                                      

\(x =  - \frac{5}{4}\);

*)\(3x - 2 = 0\)

\(x = \frac{2}{3}\).

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x =  - \frac{5}{4}\) và \(x = \frac{2}{3}\).

a. Điều kiện xác định của phương trình \(\frac{{2x + 1}}{{2x}} = 1 - \frac{2}{{x - 3}}\) là \(2x \ne 0\) và \(x - 3 \ne 0\) hay \(x \ne 0\) và \(x \ne 3\).

b.

+ Mẫu thức chung của phương trình là: \(2x\left( {x - 3} \right)\).

+ Quy đồng mẫu thức: \(\frac{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{2x\left( {x - 3} \right)}} = \frac{{2x\left( {x - 3} \right)}}{{2x\left( {x - 3} \right)}} - \frac{{4x}}{{2x\left( {x - 3} \right)}}\).

+ Khử mẫu: \(\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 3} \right) = 2x\left( {x - 3} \right) - 4x\).

c. Giải phương trình:\(\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 3} \right) = 2x\left( {x - 3} \right) - 4x\).

                                  \(\begin{array}{l}2{x^2} - 6x + x - 3 = 2{x^2} - 6x - 4x\\2{x^2} - 6x + x - 3 - 2{x^2} + 6x + 4x = 0\\5x - 3 = 0\end{array}\)

                                   \(x = \frac{3}{5}\).

d. Ta thấy \(x = \frac{3}{5}\) thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.