dòng 2 xuống 3 thiếu dấu = nhé

với dòng 5 , ở cái mẫu bỏ dấu xích ma đầu tiên nhé

Áp dụng BĐT svacxo

\(\dfrac{a^n}{\left(b+c\right)^n-a^n}+\dfrac{b^n}{\left(c+a\right)^n-b^n}+\dfrac{c^n}{\left(a+b\right)^n-c^n}\)

\(\dfrac{\left(a^n\right)^2}{\left(ab+ac\right)^n-\left(a^n\right)^2}+\dfrac{\left(b^n\right)^2}{\left(bc+ab\right)^n-\left(b^n\right)^2}+\dfrac{\left(c^n\right)^2}{\left(ac+bc\right)^n-\left(c^n\right)^2}\ge\dfrac{\left(\Sigma a^n\right)^2}{\left(ab+ac\right)^n+\left(ac+bc\right)^n+\left(bc+ab\right)^n-\Sigma\left(a^n\right)^2}\)

\(\ge\dfrac{3\Sigma\left(ab\right)^n}{\Sigma\left(ab+ac\right)^n+\left(ac+bc\right)^n+\left(bc+ab\right)^n-\Sigma\left(a^n\right)^2}\)

Do đó ta cần chứng minh

\(\dfrac{\Sigma\left(ab\right)^n}{\left(ab+ac\right)^n+\left(ac+bc\right)^n+\left(bc+ab\right)^n-\Sigma\left(a^n\right)^2}\ge\dfrac{1}{2^n-1}\)

\(\Leftrightarrow\left(2^n-1\right)\Sigma\left(ab\right)^n\ge\left(ab+ac\right)^n+\left(ac+bc\right)^n+\left(bc+ab\right)^n-\Sigma\left(a^n\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2^n-1\right)\Sigma\left(ab\right)^n+\Sigma\left(a^n\right)^2\ge\left(ab+ac\right)^n+\left(ac+bc\right)^n+\left(bc+ab\right)^n\)

Mặt khác \(\Sigma\left(a^n\right)^2\ge\Sigma\left(ab\right)^n\), do đó cần chứng minh

\(2^n\Sigma\left(ab\right)^n\ge\left(ab+ac\right)^n+\left(ac+bc\right)^n+\left(bc+ab\right)^n\)

\(\Leftrightarrow\Sigma\left(ab\right)^n\ge\left(\dfrac{ab+ac}{2}\right)^n+\left(\dfrac{ac+bc}{2}\right)^n+\left(\dfrac{bc+ab}{2}\right)^n\)

Cần chứng minh BĐT phụ sau :

\(\left(\forall a,b\ge0\right)x^{p+q}+y^{p+q}\ge\dfrac{1}{2}\left(x^p+y^p\right)\left(x^q+y^q\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x^p-y^p\right)\left(x^q-y^q\right)\ge0\) ( luôn đúng)

Áp dụng . \(\dfrac{x^n+y^n}{2}\ge\left(\dfrac{x+y}{2}\right)\left(\dfrac{x^{n-1}+y^{n-1}}{2}\right)....\ge\left(\dfrac{x+y}{2}\right)^n\)

Áp dụng . 

\(\left(\dfrac{ab+ac}{2}\right)^n+\left(\dfrac{ac+bc}{2}\right)^n+\left(\dfrac{bc+ab}{2}\right)^n\le\left(\dfrac{\left(ab\right)^n+\left(ac\right)^n}{2}\right)+\left(\dfrac{\left(ac\right)^n+\left(bc\right)^n}{2}\right)+\left(\dfrac{\left(bc\right)^n+\left(ab\right)^n}{2}\right)=\Sigma\left(ab\right)^n\)

Vậy bài toán được chứng minh

Dấu "=" \(a=b=c\)

dòng thứ 4 xuống 5

sao x^4 mà xuống thành x^2

x^2(1 - ....) trên là x^4 mà nhỉ

viết thiếu đoạn đó nha bạn

\(\dfrac{-\left(x-1\right)^2\left(\left(x^2+x\right)^2+6\left(x+\dfrac{2}{3}\right)^2+\dfrac{4}{3}\right)}{4}\)

ĐKXĐ : \(2-x^4\ge0\)

Áp dụng Cô si

\(\sqrt[4]{2-x^4}=\sqrt[4]{\left(2-x^4\right).1.1.1}\le\dfrac{2-x^4+1+1+1}{4}=\dfrac{5-x^4}{4}\)

\(VT\le\dfrac{x^2\left(5-x^4\right)}{4}-x^4+x^3-1=\dfrac{-\left(x-1\right)^2\left(\left(x^2+x\right)^2+6\left(x+\dfrac{2}{5}\right)^2\right)}{4}\le0=VP\)

Dấu "=" \(x=1\)

Vậy S = {1}

chia cả tử và mẫu cho x^2

\(\dfrac{4x^2-x-1}{3+2x^2}=\dfrac{\dfrac{4x^2}{x^2}-\dfrac{x}{x^2}-\dfrac{1}{x^2}}{\dfrac{3}{x^2}+\dfrac{2x^2}{x^2}}=\dfrac{4-\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2}}{\dfrac{3}{x^2}+2}=\dfrac{4-0-0}{0+2}=\dfrac{4}{2}=2\)

một đánh giá không hoàn hảo

vì ĐKXĐ : x >= 1 ; x <= -1

nên căn(x - 1) không xác định đc với ĐKXĐ của bài toán