\(\left\{{}\begin{matrix}x-y=61741\left(1\right)\\y-z=14197\left(2\right)\\\sqrt[7]{x}+\sqrt[7]{y}+\sqrt[7]{z}=12\left(3\right)\end{matrix}\right.\)
Giả sử: x < 0 \(\Rightarrow\) y < 0 \(\Rightarrow\) z < 0 \(\Rightarrow\) \(\sqrt[7]{x}+\sqrt[7]{y}+\sqrt[7]{z}< 0\) \(\Rightarrow\) Vô nghiệm
Với x > 0:
(+) y < 0 \(\Rightarrow\) z < 0 \(\Rightarrow\) Vô nghiệm (x không thỏa mãn (1);(3))
(+) Với y > 0
(-) z < 0 (Vô nghiệm) (CM tương tự)
(-) z > 0 \(\Rightarrow\) x + y + z > 0
Ta có:
\(y-z=14197\Rightarrow y=14197+z\) (1)
\(\left\{{}\begin{matrix}x-y=61741\\y-z=14197\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) \(x-z=75938\) \(\Rightarrow\) \(x=75938+z\) (2)
Thay (1), (2) vào \(\sqrt[7]{x}+\sqrt[7]{y}+\sqrt[7]{z}=12\) ta được:
\(\sqrt[7]{75938+z}+\sqrt[7]{14197+z}+\sqrt[7]{z}=12\)
Ta có: Với z > 0 thì \(\sqrt[7]{75938+z}>4,97\)
Vì x, y, z > 0 nên \(\sqrt[7]{x}>4,97\)
Xét x, z là số nguyên:
Với \(\sqrt[7]{x}=5\Rightarrow z=2187\) (z là số nguyên nhỏ nhất có thể tìm được để x nguyên)
Thử lại thấy đúng nên ta tìm được x = 78125; y = 16384; z = 2187
Xét x không là số nguyên:
Với \(\sqrt[7]{x}>5\) \(\Rightarrow\) Không có nghiệm x, y, z thỏa mãn hpt trên
Với \(4,97< \sqrt[7]{x}< 5\) \(\Rightarrow\) Không có nghiệm x, y, z thỏa mãn hpt trên
Vậy x = 78125; y = 16384; z = 2187
Chắc sai :v