Ta có :A=\(abc+\dfrac{1}{abc}=abc+\dfrac{1}{729abc}+\dfrac{728}{729abc}\)

Áp dụng bát đẳng thức co si và bất đẳng thức AM-GM dạng \(abc\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^3}{27}\) ta có :

\(A\ge2\sqrt{abc.\dfrac{1}{729abc}}+\dfrac{728}{729.\dfrac{\left(a+b+c\right)^3}{27}}=\dfrac{2}{27}+\dfrac{728}{27}=\dfrac{730}{27}\)

Dấu "=" xảy ra khi :\(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

\(\sqrt{x^2+x-1}+\sqrt{-x^2+x+1}=x^2-x+2\)

ĐKXĐ: \(x^2+x-1\ge0\),\(-x^2+x+1\ge0\)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM dạng \(\sqrt{ab}\le\dfrac{a+b}{2}\) (a,b không âm) ta có:

\(\sqrt{x^2+x-1}=\sqrt{\left(x^2+x-1\right).1}\le\dfrac{\left(x^2+x-1\right)+1}{2}=\dfrac{x^2+x}{2}\)

\(\sqrt{-x^2+x+1}=\sqrt{\left(-x^2+x+1\right).1}\le\dfrac{\left(-x^2+x+1\right)+1}{2}=\dfrac{-x^2+x+1+1}{2}=\dfrac{-x^2+x+2}{2}\)Cộng vế theo vế ta được :

\(\sqrt{x^2+x-1}+\sqrt{-x^2+x+1}\le\dfrac{x^2+x-x^2+x+2}{2}=x+1\)

\(\Leftrightarrow x^2-x+2\le x+1\)

\(\Leftrightarrow\)\(x^2-2x+1\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\le0\)

Mà \(\left(x-1\right)^2\ge0\) với mọi x

Nên \(\left(x-1\right)^2=0\Leftrightarrow x=1\) (thoả mãn đkxđ)

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x=1

Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có :

b+c\(\ge2\)\(\sqrt{bc}\)\(\Rightarrow\)R(b+c)\(\ge2\)R.\(\sqrt{bc}\)\(\ge a\sqrt{bc}\)(quan hệ đường kính và dây cung 2R\(\ge\)BC=a)

Dấu "=" xảy ra khi:\(\left\{{}\begin{matrix}b=c\\BC=2R\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}CA=AB\\BC=2R\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\Delta ABC\) vuông cân tại A

Đặt A=\(\dfrac{b+c+5}{1+a}+\dfrac{c+a+4}{2+b}+\dfrac{a+b+3}{3+c}\)

Ta có :A+3=\(\left(\dfrac{b+c+5}{1+a}+1\right)+\left(\dfrac{c+a+4}{2+b}+1\right)+\left(\dfrac{a+b+3}{3+a}+1\right)\)

=\(\dfrac{a+b+c+6}{1+a}+\dfrac{a+b+c+6}{2+b}+\dfrac{a+b+c+6}{3+c}\)

=\(\left(a+b+c+6\right)\left(\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{2+b}+\dfrac{1}{3+c}\right)\)

=\([\left(a+1\right)+\left(b+2\right)+\left(c+3\right)|\left(\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+2}+\dfrac{1}{c+3}\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM dạng \(\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\ge9\)( với x,y,z>0)

Ta có :A+3\(\ge9\)\(\Rightarrow A\ge6\)

Dấu "=" xảy ra khi a=3,b=2,c=1

3Ta có :b=100...0+5(n chữ số 0)

mà 10ⁿ=100...0=99...9+1=9a+1(n chữ số 0 ,n chữ số 9)

nên b=9a+1+5=9a+6

Do đó :ab+1=a(9a+6)+1=9a²+6a+1=(3a+1)²=33...32²(n-1 chữ số 3)

2.a)

Ta có :A=11...1\(\times\)10ⁿ+11...1-22...2(n chữ số 1 ,n chữ số 2)

Đặt a=11...1 (n chữ số 1) suy ra 10ⁿ=9a+1,22...2=2a.Khi đó :

A=(a(9a+1)+a)-2a=9a²=(3a)²=33...3²(n chữ số 3)

b)Tương tự :B=a(9a+1)+a+4a+1=9a²+6a+1=(3a+1)²=33..34²(n -1 chữ số 3)

1. a) Ta có :A=99...9000...0+25(n chữ số 9,n +2 chữ số 0)

Đặt a=11...1(n chữ số 1 ) suy ra : 10ⁿ=9a+1.Khi đó :

A=9a.(9a+1).100+25=8100a²+900a+25=(90a+5)²=99...95²

A . M lớn hơn 0

Tick ủng hộ nhé !

Ta có:\(\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2=1\Rightarrow\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+\dfrac{2}{ab}+\dfrac{2}{bc}+\dfrac{2}{ca}=1+2\left(\dfrac{a+b+c}{abc}\right)\)\(\Rightarrow2\left(\dfrac{a+b+c}{abc}\right)=0\Rightarrow a+b+c=0\)

Đề có sai gì không vậy bạn