cac so do thuoc B(2520)

tick nha

Đặt \(M=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{a+c}\)

\(\Rightarrow M^2=\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{a+c}\right)^2\)

\(\le\left(1+1+1\right)\left(a+b+b+c+c+a\right)\) (bđt Cauchy Shwarz)

\(=6\)

\(\Rightarrow M\le\sqrt{6}\left(M>0\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

Thay vào \(A=\left(a-b+3\right)^2+\left(b-c+2\right)^3+\left(c-a+1\right)^4\)

\(=\left(a-a+3\right)^2+\left(b-b+2\right)^3+\left(c-c+1\right)^4\)

\(=3^2+2^3+3^4=98\)

Áp dụng bđt Cauchy Shwarz, ta có:

\(\sqrt{a^2+b^2}\times\sqrt{b^2+c^2}\ge\sqrt{\left(ab+bc\right)^2}=b\left(a+c\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi ac = b²

Đặt \(M=\sqrt{1-a^2}+\sqrt{1-b^2}\)

\(\Rightarrow M^2=\left(\sqrt{1-a^2}+\sqrt{1-b^2}\right)^2\)

\(\le\left(1+1\right)\left(1-a^2+1-b^2\right)\) (bđt Cauchy Shwarz)

\(\le2\left[2-\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\right]\) (bđt Cauchy Shwarz)

\(=4\left[1-\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\right]\)

\(\Rightarrow M\le2\sqrt{1-\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2}\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b

(- 18) - 5 + 3 + 18 + (- 3)

= [(-18)+18] + [(-3)+3] -5

= 0+0-5

=-5

vì tổng hai số đối nhau là 0

Câu 4.2:

AD // EF (cùng \(\perp\) BC)
E là trung điểm của CD (gt)

=> F là trung điểm của AC

=> \(\cdot\) EF là đường trung bình
\(\cdot\) \(AC=2AF\)

=> AD = 2EF

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại A có AD là đường cao

\(\Rightarrow\) \(\cdot\) \(AB^2=BD\times BC=\left(EB-ED\right)\left(EB+EC\right)\)

\(=\left(EB-EC\right)\left(EB+EC\right)=EB^2-EC^2\)

\(\cdot\) \(\dfrac{1}{AD^2}=\dfrac{1}{AC^2}+\dfrac{1}{AB^2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{4EF^2}-\dfrac{1}{4AF^2}=\dfrac{1}{EB^2-EC^2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{EF^2}-\dfrac{1}{AF^2}=\dfrac{4}{EB^2-EC^2}\)

Câu 5:

Áp dụng bđt Cauchy Shwarz dạng Engel và bđt AM - GM, ta có:

\(M=\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\left(1+\dfrac{1}{y}\right)=1+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{xy}\)

\(\ge1+\dfrac{\left(1+1\right)^2}{x+y}+\dfrac{1}{\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}}\)

\(=9\)

Dấu "=" xảy ra khi x = y = 0,5