Bất phương trình \(\Leftrightarrow9.9^{2x-x^2}-34.15^{2x-x^2}+25.25^{2x-x^2}\le0\)

                         \(\Leftrightarrow9\left(\frac{3}{5}\right)^{2\left(2x-x^2\right)}-34\left(\frac{3}{5}\right)^{2x-x^2}+25\le0\)

Đặt \(t=\left(\frac{3}{5}\right)^{2x-x^2},t>0\)

Ta có bất phương trình :

\(9t^2-34t+25\Leftrightarrow1\le t\le\frac{25}{9}\)

\(\Rightarrow\begin{cases}\left(\frac{3}{5}\right)^{2x-x^2}\ge1\\\left(\frac{3}{5}\right)^{2x-x^2}\le\left(\frac{3}{5}\right)^{-2}\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}2x-x^2\le0\\x^2-2x-2\le0\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x\ge2\\x\le0\end{array}\right.\) và \(1-\sqrt{3}\le x\le1+\sqrt{3}\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là :

\(S=\left[1-\sqrt{3};0\right]\cup\left[2;1+\sqrt{3}\right]\)

Tập xác định : \(D=R\backslash\left\{1\right\}\)

\(M\in Ox\Rightarrow M\left(x_0;0\right)\) đường thẳng qua M với hệ số góc k có phương trình \(y=k\left(x-x_0\right)\)    \(\left(\Delta\right)\)

 \(\left(\Delta\right)\) là tiếp tuyến của đồ thì khi hệ \(\begin{cases}\frac{x^2}{x-1}=k\left(x-x_0\right)\\\frac{x^2-2x}{\left(x-1\right)^2}=k\end{cases}\) có nghiệm

\(\Rightarrow\frac{x^2}{x-1}=\frac{x^2-2x}{\left(x-1\right)^2}\left(x-x_0\right)\Leftrightarrow x\left[\left(x_0+1\right)x-2x_0\right]=0\)

\(\Rightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=0\\x=\frac{2x_0}{x_0+1}\end{array}\right.\) với \(x_0\ne-1\)

* Với \(x_0=0\Rightarrow k=0\)

Hai đường cong tiếp xúc nhau \(\Leftrightarrow\begin{cases}\frac{x^2-x+1}{x-1}=x^2+m\left(1\right)\\\frac{x^2-2x}{\left(x-1\right)^2}=2x\left(2\right)\end{cases}\) có nghiệm

Ta có (2) \(\Leftrightarrow x\left(2x^2-5x+4\right)=0\Leftrightarrow x=0\) thay vào (1) ta được \(m=-1\)

Giả sử \(M\left(x_0;y_0\right)\) là điểm mà d không đi qua, khi đó phương trình :

\(y_0=\left(m+1\right)x_0+m^2+m\Leftrightarrow m^2+\left(x_0+1\right)m+x_0-y_0=0\) vô nghiệm với mọi m

                                         \(\Leftrightarrow\Delta=\left(x_0+1\right)^2-4x_0+4y_0< 0\)

                                        \(\Leftrightarrow y_0< -\frac{1}{4}x_0^2+\frac{1}{2}x_0-\frac{1}{4}\)

Ta dễ dàng chứng minh được d luôn tiếp xúc với Parabol

\(\left(P\right):y=-\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\)

Đặt \(A\left(a;a^3-3a^2+2\right);B\left(b;b^3-3b^2+2\right);a\ne b\)

Hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại A, B là :

\(k_A=y'\left(x_A\right)=3a^2-6a;k_B=y'\left(x_B\right)=3b^2-6b\)

Tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau khi và chỉ khi \(k_A=k_B\)

\(\Leftrightarrow3a^2-6a=3b^2-6b\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b-2\right)=0\)

                                    \(\Leftrightarrow b=2-a\)

Độ dài đoạn AB là :

\(AB=\sqrt{\left(a-b\right)^2+\left[a^3-b^3-3\left(a^2-b^2\right)\right]^2}\)

      \(=\sqrt{\left(a-b\right)^2+\left(a-b\right)^2.\left[a^2+ab+b^2-3\left(a+b\right)\right]^2}\)

      \(=\sqrt{4\left(a-1\right)^2+4\left(a-1\right)^2\left[\left(a-1\right)^2-3\right]^2}\)

Đăth \(\left(a-1\right)^2=t\) mà \(AB=4\sqrt{2}\Leftrightarrow t+t\left(1-3\right)^2=8\Leftrightarrow\left(t-4\right)\left(t^2-2t+2\right)=0\)

                                                  \(\Leftrightarrow t=4\Rightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}a-1=2\\a-1=-2\end{array}\right.\)

                                                              \(\Rightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}a=3\\a=-1\end{array}\right.\)

* Với \(a=3\Rightarrow b=-1\Rightarrow A\left(3;2\right);B\left(-1;-2\right)\)

* Với \(a=1\Rightarrow b=3\Rightarrow A\left(-1;-2\right);B\left(3;2\right)\)

Vậy \(A\left(-1;-2\right);B\left(3;2\right)\) hoặc \(A\left(3;2\right);B\left(-1;-2\right)\)

Ta có 30=3x2x5. 33=11x3

Vây số này phải chia hết cho 3x3=9 ,2vaf 5.

Bởi 6+6+*+8+1+4+4+0hay29+* phải chia hết cho 9.

Vì 29+7=36 chia hế cho 9 nên * bằng 7

Từ M kẻ MP ⊥ Ox, MQ ⊥ Oy

=> = cosα;             = 

= sinα;

Trong tam giác vuông MPO:

MP²+ PO² = OM²              =>  cos² α + sin² α = 1

Ta có    cos(, )   =  cos135⁰ = 

            sin(, )   =  sin90⁰ =  1

            cos(, )  =  cos0⁰ =  1

Gọi \(M\left(x_0;y_0\right)\) là tiếp điểm của tiếp tuyến d với đồ thị (C). Khi đó \(y'\left(x_0\right)=3\)

Ta có phương trình :

                  \(\frac{3}{\left(x_0+2\right)^2}=3\Leftrightarrow\left(x_0+2\right)^2=1\Leftrightarrow\begin{cases}x_0=-1\\x_0=-3\end{cases}\)

Phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại các điểm (-1;1) và (-3;5) lần lượt là 

\(y=3x+2;y=3x+14\)

Từ giả thiết ta được \(y=3x+2\)

Mặt cầu (S) cần tìm có tâm I là trung điểm của AB, với I(2;3;0)

Bán kính của (S) là \(R=\frac{AB}{2}=\sqrt{3}\)

Phương trình của (S) : \(\left(x-2\right)^2+\left(y-3\right)^2+z^2=3\)

Gọi \(M\left(0;0;t\right)\in Oz\)

Do \(V_{MABC}=5\) nên \(\frac{1}{6}\left|\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]\overrightarrow{AM}\right|=5\Leftrightarrow\left|11+4t\right|=5\)

                                                                     \(\Leftrightarrow\left|11=4t\right|=15\Leftrightarrow\begin{cases}11+4t=15\\11+4t=-15\end{cases}\)

                                                                     \(\Leftrightarrow\begin{cases}t=1\Rightarrow M\left(0;0;1\right)\\t=-\frac{13}{2}\Rightarrow M\left(0;0;-\frac{13}{2}\right)\end{cases}\)