Viết phương trình parabol (P) biết gốc tọa độ O là tiêu điểm , đường thẳng \(\left(\Delta\right):3x-2y+5=0\) là đường chuẩn.
\(9x^2+4y^2-12xy+30x-20y+25=0\) \(4x^2+9y^2+12xy-30x+20y-25=0\) \(9x^2+4y^2+12xy-30x-20y-25=0\) \(4x^2+9y^2-12xy+30x+20y+25=0\) Hướng dẫn giải:Xét điểm \(M\left(x;y\right)\). Khoảng cách từ M tới tiêu điểm O(0;0) và tới đường chuẩn \(\left(\Delta\right):3x-2y+5=0\) là:
\(MO=\sqrt{x^2+y^2}\) và \(d_{\left(M;\Delta\right)}=\dfrac{\left|3x-2y+5\right|}{\sqrt{3^2+\left(-2\right)^2}}\)
\(M\left(x;y\right)\)sẽ thuộc parabol đã cho khi và chỉ khi hai khoảng cách trên bằng nhau, tức là khi
\(x^2+y^2=\dfrac{\left(3x-2y+5\right)^2}{13}\Leftrightarrow13\left(x^2+y^2\right)=9x^2+4y^2+25-12xy+30x-20y\)
\(\Leftrightarrow4x^2+9y^2+12xy-30x+20y-25=0\)
