Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Ba đường thẳng cắt nhau từng đôi một thì đồng quy.Ba đường thẳng cắt nhau từng đôi một thì không đồng quy.Ba đường thẳng cắt nhau từng đôi một và không đồng phẳng thì đồng quy.Ba đường thẳng đồng quy thì đồng phẳng.Hướng dẫn giải:a) Ba đường thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC từng đôi một cắt nhau nhưng không đồng quy. Vì vậy " Ba đường thẳng cắt nhau từng đôi một thì đồng quy" là mệnh đề sai.
b) Ba đường thẳng chứa ba cạnh SA, SB, SC của hình chóp SABC là ba đường thẳng cắt nhau từng đôi một và đồng quy. Vì vậy " Ba đường thẳng cắt nhau từng đôi một thì không đồng quy" và " Ba đường thẳng đồng quy thì đồng phẳng " là những mệnh đề sai.
Từ đó mệnh đề đúng chỉ có thể là " Ba đường thẳng cắt nhau từng đôi một và không đồng phẳng thì đồng quy ". Có thể chứng minh tính đúng đắn của mệnh đề này như sau: Giả sử a, b, c là ba đường thẳng không đồng phẳng và đôi một cắt nhau. Gọi X1 là giao điểm của a và b; X2 là giao điểm của b và c; X3 là giao điểm của c và a. Kí hiệu (P1) là mặt phẳng xác định bởi a và b; (P2) là mặt phẳng xác định bởi b và c; (P3) là mặt phẳng xác định bởi c và a.
Nếu X1, X2,X3 đôi một khác nhau thì ba điểm này xác định một mặt phẳng (Q). Ta thấy X1 là giao của a,b nên X1 thuộc b; X2 là giao của b,c nên X2 thuộc b. Do đó b chứa X1 , X2 cùng thuộc (Q) nên (Q) chứa đường thẳng b. Tương tự (Q) cũng chứa a và c, suy ra a, b, c đồng phẳng, trái giả thiết. Vậy không xảy ra trường hợp này, tức là 2 trong 3 điểm X1, X2,X3 phải trùng nhau. Không mất tổng quát, giả sử X1= X2 . Trường hợp này a,b,c đồng quy vì a,b qua X1, b,c qua X2.
