Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?
(I) \(\exists x\in\mathbb{N}:x^2+x+1\) không phải là số nguyên tố.
(II) \(\forall x\in\mathbb{Z},x^2\ge x\)
(III) \(\exists x\in\mathbb{R},\dfrac{2x}{x^2+1}>1\)
(IV) Tồn tại số hữu tỉ \(x\) sao cho \(\dfrac{3x+2}{x^2+1}\) là số nguyên
(III).(I) và (II).(II) và (III).(IV).Hướng dẫn giải:1) Với \(x=4\) thì \(x^2+x+1=4^2+4+1=21\) không phải là số nguyên tố.
Vì vậy mệnh đề " \(x^2+x+1\) không phải là số nguyên tố" là mệnh đề đúng.
2) Nếu \(x\) nguyên âm thì \(x^2\ge0\ge x\Rightarrow x^2\ge x\). Nếu \(x\) nguyên dương thì
\(x\ge1\Rightarrow x^2\ge x\). Vì vậy mệnh đề "\(\forall x\in\mathbb{Z},x^2\ge x\)" là mệnh đề đúng.
3) \(\dfrac{2x}{x^2+1}-1=\dfrac{-\left(x-1\right)^2}{x^2+1}\le0\Rightarrow\dfrac{2x}{x^2+1}\le1,\forall x\)nên mệnh đề
" \(\exists x\in\mathbb{R},\dfrac{2x}{x^2+1}>1\)" sai.
4) Tồn tại \(x=0\in\mathbb{Q},\dfrac{3x+2}{x^2+1}=2\in\mathbb{Z}\). Do đó " Tồn tại số hữu tỷ \(x\) sao cho \(\dfrac{3x+2}{x^2+1}\) là số nguyên" là mệnh đề đúng.
