Cho parabol (P) : \(y^2=4x\) và điểm \(I\left(1;2\right)\in\left(P\right)\). Một góc vuông thay đổi quay quanh I có hai cạnh góc vuông cắt (P) tại M và N (khác I). Đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định A. Tìm tọa độ điểm A.
A (5;2) A (5;-2) A (-5;2) A (-5; -2) Hướng dẫn giải:Hai cạnh góc vuông đã cho đi qua I(1;2) nên có phương trình là (d): \(y=k\left(x-1\right)+2\) và (d'): \(y=-\dfrac{1}{k}\left(x-1\right)+2\).
Tọa độ các giao điểm của (d) và (P) là các nghiệm của hệ \(\left\{{}\begin{matrix}y=k\left(x-1\right)+2\\y^2=4x\end{matrix}\right.\).
Khử \(x\) bằng cách thế phương trình đầu vào phương trình sau của hệ ta được
\(\left[k\left(x-1\right)+2\right]^2=4x\Leftrightarrow\left[kx-\left(k-2\right)\right]^2-4x=0\) (1)
Chú ý rằng I(1;2) là một trong các giao điểm của (d) và (P) nên \(x=1\) là một nghiệm của (1), do đó nghiệm còn lại của (1) là \(x=\dfrac{c}{a}\), trong đó \(a\) và \(c\) tương ứng là hệ số bậc hai và hệ số tự do của vế trái (1), từ đó \(a=k^2,c=\left(k-2\right)^2\) và \(x=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\left(k-2\right)^2}{k^2}=\left(\dfrac{k-2}{k}\right)^2=\left(1-\dfrac{2}{k}\right)^2\)
\(\Rightarrow y=k\left[\dfrac{\left(k-2\right)^2}{k^2}-1\right]+2=\dfrac{-4k+4}{k}+2=\dfrac{-2k+4}{k}=-2+\dfrac{4}{k}\).
Vậy giao điểm khác I của (d) với (P) là điểm \(M\left(\left(1-\dfrac{2}{k}\right)^2;-2+\dfrac{4}{k}\right)\).
Tương tự (bằng cách thay \(k\) bởi \(-\dfrac{1}{k}\)) ta thấy cạnh góc vuông kia là (d'): \(y=-\dfrac{1}{k}\left(x-1\right)+2\) cắt (P) tại điểm (khác I) là \(N\left(\left(1+2k\right)^2;-2-4k\right)\).
Phương trình đường thẳng MN:
\(\dfrac{x-\left(1+2k\right)^2}{\left(1-\dfrac{2}{k}\right)^2-\left(1+2k\right)^2}=\dfrac{y-\left(-2-4k\right)}{\left(-2+\dfrac{4}{k}\right)-\left(-2-4k\right)}\) (2)
Rút gọn các mẫu số ở 2 vế của (2) ta được:
\(\left(1-\dfrac{2}{k}\right)^2-\left(1+2k\right)^2=\left(1-\dfrac{2}{k}+1+2k\right)\left(1-\dfrac{2}{k}-1-2k\right)=-4\left(1+k-\dfrac{1}{k}\right)\left(\dfrac{1}{k}+k\right)\)
và \(\left(-2+\dfrac{4}{k}\right)-\left(-2-4k\right)=\dfrac{4}{k}+4k=4\left(k+\dfrac{1}{k}\right)\).
Do đó nhân 2 vế của (2) với \(-4\left(1+k-\dfrac{1}{k}\right)\left(\dfrac{1}{k}+k\right)\) ta được:
(2)\(\Leftrightarrow\left[x-\left(1+2k\right)^2\right]=-\left(1+k-\dfrac{1}{k}\right)\left[y+\left(2+4k\right)\right]\)\(\Leftrightarrow x+\left(y+2\right)\left(1+k-\dfrac{1}{k}\right)-\left(1+2k\right)^2+4k\left(1+k-\dfrac{1}{k}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x+\left(y+2\right)\left(1+k-\dfrac{1}{k}\right)-\left(1+2k\right)^2+4k+4k^2-4=0\)\(\Leftrightarrow x+\left(y+2\right)\left(1+k-\dfrac{1}{k}\right)-5=0\)(3)
Ta thấy (3) sẽ đúng với mọi \(k\ne0\) khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}y+2=0\\x-5=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=5\\y=-2\end{matrix}\right.\) .
Vậy đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định \(A\left(5;-2\right)\)
