Cho parabol (P) : \(y^2=12x\). Đường thẳng (d) qua tiêu điểm F của (P) và có hệ số góc \(k\ne0\) cắt (P) tại hai điểm \(M_1;M_2\). Tính độ dài đoạn \(M_1M_2\)
\(12+\frac{12}{k^2}\) \(6+\frac{6}{k^2}\) \(9+\frac{9}{k^2}\) \(4+\frac{4}{k^2}\) Hướng dẫn giải:Viết phương trình parabol đã cho dưới dạng \(y^2=2px\) thì \(p=6\), suy ra parabol có tham số tiêu \(p=6\) và có tiêu điểm \(F\left(\dfrac{p}{2};0\right)=\left(3;0\right)\), do đó đường thẳng (d) có phương trình
\(y=k\left(x-3\right)\). Hệ phương trình xác định tọa độ các giao điểm của (d) với parabol là \(\left\{{}\begin{matrix}y=k\left(x-3\right)\\y^2=12x\end{matrix}\right.\). Khử \(x\) từ hệ này ta được phương trình
\(y=k\left(\dfrac{y^2}{12}-3\right)\Leftrightarrow ky^2-12y-36k=0\)
Do giả thiết \(k\ne0\) nên phương trình này có 2 nghiệm trái dấu \(y_1,y_2\), suy ra hệ phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt \(y=y_1,x=x_1=\dfrac{y_1+3k}{k}\) và \(y=y_2,x=x_2=\dfrac{y_2+3k}{k}\)
Vì vậy (d) luôn cắt parabol tại 2 điểm phân biệt \(M_1\left(x_1;y_1\right),M_2\left(x_2;y_2\right)\). Khoảng cách giữa hai điểm này là
\(M_1M_2=\) \(\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2}=\sqrt{\left(\dfrac{y_1-y_2}{k}\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2}=\sqrt{\dfrac{1}{k^2}+1}.\sqrt{\left(y_1-y_2\right)^2}=\sqrt{\dfrac{1+k^2}{k^2}}\sqrt{\left(y_1+y_2\right)^2-4y_1y_2}\)
Theo Viet ta có \(y_1+y_2=\dfrac{12}{k},y_1y_2=-36\) suy ra \(M_1M_2=\sqrt{\dfrac{1+k^2}{k^2}}\sqrt{\dfrac{144}{k^2}+4.36}=\dfrac{12\left(1+k^2\right)}{k^2}=\dfrac{12}{k^2}+12\)
