Cho hình thang vuông \(ABCD\), vuông ở \(A\) và\(D\), \(AB=1,AD=\sqrt{3},\widehat{BCD}=60^o.\) Tính thể tích của hình tròn xoay tạo thành khi quay quanh các cạnh của hình thang quanh đường thẳng \(AD\).
\(\dfrac{8\pi\sqrt{3}}{3}\).\(\dfrac{7\pi\sqrt{3}}{3}\).\(7\pi\sqrt{3}\).\(\dfrac{\pi\sqrt{3}}{3}\).Hướng dẫn giải:
Ta thấy \(\tan\widehat{ABD}=\sqrt{3}\Rightarrow\widehat{ABD}=60^o\Rightarrow\widehat{BDC}=60^o\Rightarrow\) tam giác \(DBC\) đều.
Do đó \(DC=DB=2.\)
Đặt tên các đỉnh như trên hình vẽ. Ta tính thể tích hai khối nón. Thể tích cần tìm là hiệu hai thể tích này.
\(\widehat{IBA}=\widehat{BCD}=60^o\Rightarrow IA=\tan60^oAB=\sqrt{3}\)
Vậy \(V_1=\dfrac{1}{3}.\pi.2^2\left(\sqrt{3}+\sqrt{3}\right)=\dfrac{8\pi\sqrt{3}}{3}\)
\(V_2=\dfrac{1}{3}.\pi.1^2.\sqrt{3}=\dfrac{\pi\sqrt{3}}{3}\)
Do đó thể tích hình cần tính bằng \(\dfrac{8\pi\sqrt{3}}{3}-\dfrac{\pi\sqrt{3}}{3}=\dfrac{7\pi\sqrt{3}}{3}\)
