Bài toán mở đầu

Giả sử độ dài hai cạnh của một hình chữ nhật được biểu thị bởi M = x + 3y + 2 và N = x + y. Khi đó, diện tích của hình chữ nhật được biểu thị bởi công thức

MN = (x + 3y + 2)(x + y)

Trong tình huống này, ta phải nhân hai đa thức M và N. Phép nhân đó được thực hiện như thế nào và kết quả đó có phải là một đa thức hay không?

1, Nhân đơn thức với đa thức

a) Nhân hai đơn thức

Để nhân hai đơn thức \(2x^2y\) và \(-xy^2\) ta làm như sau

 \(2x^2y.(-xy^2)=[2.(-1)](x^2.x)(y.y^2)=-2x^3y^3.\)

Qua ví dụ trên, ta có thể nói:

b) Nhân đơn thức với đa thức

Chú ý: Tích của một đơn thức với một đa thức cũng là một đa thức.

2, Nhân đa thức với đa thức

Chú ý:  

Phép nhân đa thức cũng có các tính chất tương tự phép nhân các số như:

       +) Giao hoán: A.B = B.A.

       +) Kết hợp: A.(B.C) = (A.B).C.

       +) Phân phối với phép cộng: A.(B+C) = A.B + A.C.

Nếu A, B, C là các đa thức tùy ý thì:  A.B.C = A.(B.C) = (A.B.C).

Ví dụ 2: Thực hiện phép tính: \((x-y).(x+y) \)

Hướng dẫn giải

\((x-y).(x+y) \)

\(= x.x +x.y+(-y).x+(-y).y\)

\(= x^2 + xy-xy-y^2\)

\(= x^2 - y^2\).

Ví dụ 3: Trở lại bài toán mở đầu, ta thực hiện phép nhân như sau:

\((x+3y+2)(x+y)=x^2+xy+3xy+3y^2+2x+2y\\=x^2+4xy+3y^2+2x+2y.\)

Ta thấy kết quả cũng là một đa thức.