Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

I. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Định nghĩa: Giả sử hàm số \(f\) xác định trên tập hợp D. Khi đó :

• \(M=max_{x\in D}f\left(x\right)\Leftrightarrow\begin{cases}f\left(x\right)\le M,x\in D\\\exists x_0\in D:M=f\left(x_0\right)\end{cases}\)

• \(m=min_{x\in D}f\left(x\right)\Leftrightarrow\begin{cases}f\left(x\right)\ge M,x\in D\\\exists x_0\in D:m=f\left(x_0\right)\end{cases}\)

Lưu ý.

• Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.

• Trên khoảng hoặc nửa khoảng hàm số có thể có hoặc không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

II. Các qui tắc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [a; b].

• Tính \(y',y'=0\Rightarrow x_i\in\left[a;b\right]\)

• Tính \(y\left(a\right),y\left(b\right),y\left(x_i\right)\); so sánh và kết luận.

2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên miền D.

• Tính \(y',y'=0\Rightarrow x_i\in D\)

• Lập bảng biến thiên; từ bảng biến thiên rút ra kết luận. 

-----------------

CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1: Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh a. Cắt bốn góc của hình vuông đó bốn hình vuông nhỏ bằng nhau rồi gập tấm nhôm lại như hình sau để được khối hộp chữ nhật không nắp. Tính cạnh hình vuông bị cắt sao cho thể tích khối hộp là lớn nhất?

Giải

Gọi x là cạnh hình vuông bị cắt. Ta có 0 < x < a/2

Thể tích khối hộp là: 

     \(V\left(x\right)=x\left(a-2x\right)^2\)

Ta phải tim x trong khoảng (0 ; a/2) để V(x) là lớn nhất.

Ta có \(V'\left(x\right)=\left(a-2x\right)^2+2.x.\left(a-2x\right)\left(-2\right)=\left(a-2x\right)\left(a-6x\right)\)

V'(x) = 0 khi x = a/6 hoặc x = a/2. Trên khoảng (0; a/2) chỉ có x = a/6 làm cho V'(x) = 0. Ta lập bảng biến thiên của V(x) như sau:

Từ bảng biến thiên ta thấy V(x) lớn nhất bằng \(\frac{2a^3}{27}\) khi x = a/6

Ví dụ 2 : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên miền xác định của nó :

          \(f\left(x\right)=x+\sqrt{4-x^2}\)

Bài giải :

Hàm số \(f\left(x\right)\) xác định khi \(4-x^2\ge0\Leftrightarrow-2\le x\le2\)

Ta có \(f'\left(x\right)=1-\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}=\frac{\sqrt{4-x^2}-x}{\sqrt{4-x^2}}\)

Lập bảng biến thiên

Từ đó ta có : \(max_{\left|x\right|\le2}f\left(x\right)=f\left(2\right)=2\sqrt{2}\)

                     \(min_{\left|x\right|\le2}f\left(x\right)=min\left\{f\left(-2\right);f\left(2\right)\right\}=min\left\{-2;2\right\}=-2\)

Ví dụ 3 : Cho hàm số 

        \(f\left(x\right)=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+1}};x\in\left[-1;2\right]\) 

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của \(f\left(x\right)\) trên đoạn \(\left[-1;2\right]\)

Bài giải :

Ta có : \(f'\left(x\right)=\frac{\sqrt{x^2+1}-\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}=\frac{1-x}{\left(x^2+1\right)\sqrt{x^2+1}}\)

Lập bảng biến thiên :

Từ đó ta có : \(max_{x\in\left[-1;2\right]}f\left(x\right)=f\left(1\right)=\sqrt{2}\)

                     \(min_{x\in\left[-1;2\right]}f\left(x\right)=min\left\{f\left(-1\right),f\left(2\right)\right\}=min\left\{0;\frac{3}{\sqrt{5}}\right\}=0\)