Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm lôgarit

Bạn đặt t = lnx or logx
mình sẽ làm đặt logx cho b bạn tự làm lại cái kia cho quen
t= logx ---> x=10^t ---> 5log²x+blogx+a=0 sẽ là 5t²+bt+a=0
lnx=logx/loge ---> pt là (a/log²e)t+(b/loge)t+5=0
-->x1x2=e^t1/logee^t2/loge=e^(t1+t2)/loge=e^-b/a
----> x3x4= 10^t310^t4=10^-b/5----->x1x2>x3x4 ---> ln or log 2 vế tìm đc a>2,17 mà đề nói nguyên dương ---> a>=3
tìm b bằng tìm denta 1 trong 2 phương trình ---> b>7,74 ---> b=8
Smin=2a+3b=30

Lời giải:

a) Vì \(6^x-2^x>0\Rightarrow x>0\)

Xét \(y=6^x-2^x-32\) có \(y'=\ln 6.6^x-\ln 2.2^x>0\forall x>0\) nên hàm $y$ đồng biến trên \(x\in(0,+\infty)\).

Khi đó phương trình \(6^x-2^x=32\) có nghiệm duy nhất $x=2$

b) Có \(5^{7^x}=7^{5^x}\Leftrightarrow \log(5^{7^x})=\log (7^{5^x})\)

\(\Leftrightarrow 7^x\log 5=5^x\log 7=7^{x\frac{\log 5}{\log 7}}\log 7\)

\(\Leftrightarrow 7^{x(1-\frac{\log 5}{\log 7})}=\frac{\log 7}{\log 5}=10^{x\log 7(1-\frac{\log 5}{\log 7})}=10^{x\log(\frac{7}{5})}\)

\(\Leftrightarrow x\log\frac{7}{5}=\log\left ( \frac{\log 7}{\log 5} \right )\)\(\Rightarrow x=\frac{\log\left ( \frac{\log 7}{\log 5} \right )}{\log\frac{7}{5}}\)

d) ĐKXĐ:...........

\(3^x+\frac{1}{3^x}=\sqrt{8-x^2}\Leftrightarrow 9^x+\frac{1}{9^x}+2=8-x^2\)

\(\Leftrightarrow 9^x+\frac{1}{9^x}+x^2=6\)

Giả sử \(x\geq 0\) . Xét hàm \(y=9^x+\frac{1}{9^x}+x^2\) có \(y'=9^x\ln 9-\frac{\ln 9}{9^x}+2x\geq 0\) nên hàm đồng biến trên \(x\in [0,+\infty)\)

Do đó PT \(9^x+\frac{1}{9^x}+x^2=6\) với $x\geq 0$ có nghiệm duy nhất \(x\approx 0,753897\)

---------------------------------------------------------------------------------

Vì hàm \(y\) là hàm chẵn nên $-x$ cũng là nghiệm, do đó tổng kết lại PT có nghiệm là \(x\approx \pm 0,753897\)

e) ĐK: $x>0$

\(\text{PT}\Leftrightarrow x^{\log_29}+x^{\log_23}=x^2.3^{\log_2x}\)

\(\Leftrightarrow x^{2\log_23}+x^{log_23}=x^2.x^{log_23}\Leftrightarrow x^{log_23}(x^{\log_23}+1-x^2)=0\)

\(\Leftrightarrow x^{\log_23}+1-x^2=0\) (do \(x>0\))

Dễ thấy \(x^2>x^{\log_23}\Rightarrow x>1\)

Xét hàm \(y=x^2-x^{\log_23}\Rightarrow y'=2x-\log_23x^{\log_23-1}>0\forall x>1\) nên hàm $y$ là hàm đồng biến

Do đó PT có nghiệm duy nhất $x=2$

c) Có lẽ bạn type thiếu đề