Luyện tập chung trang 108

a) Có BC = BH + CH = 16 + 9 = 25

Xét tam giác AHC vuông tại H có: \(A{H^2} = A{C^2} - C{H^2}\)(định lý Pythagore) (1)

Xét tam giác AHB vuông tại H có: \(A{H^2} = A{B^2} - B{H^2}\) (định lý Pythagore) (2)

Xét (1) + (2), có:

\(\begin{array}{l}2{\rm{A}}{H^2} = A{C^2} - C{H^2} + A{B^2} - B{H^2}\\2{\rm{A}}{H^2} = B{C^2} - C{H^2} - B{H^2}\\2{\rm{A}}{H^2} = {25^2} - {9^2} - {16^2}\\2{\rm{A}}{H^2} = 288\end{array}\)

AH = 12(cm)

b) Có \(A{C^2} = A{H^2} + C{H^2}\) (định lý Pythagore) 

=> \(A{C^2} = {12^2} + {9^2} = 225\)

=> AC = 15(cm)

Có  \(A{B^2} = A{H^2} + B{H^2}\) (định lý Pythagore) 

=> \(A{B^2} = {12^2} + {16^2} = 400\)

=> AB = 20(cm)

a) Xét hai tam giác AEH (vuông tại E) và tam giác AHB (vuông tại H) có: góc A chung

=> ΔAEH ∽ ΔAHB 

b) Xét hai tam giác AFH (vuông tại F) và tam giác AHC (vuông tại H) có: góc A chung

ΔAFH ∽ ΔAHC 

c) Vì ΔAEH ∽ ΔAHB nên:

\(\frac{{A{\rm{E}}}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AB}} \Rightarrow A{\rm{E}} = \frac{{A{H^2}}}{{AB}}\) (1)

Vì ΔAFH ∽ ΔAHC nên:

\(\frac{{AF}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AC}} \Rightarrow AF = \frac{{A{H^2}}}{{AC}}\)(2)

Từ (1) và (2) ta có:

\[\frac{{A{\rm{E}}}}{{AF}} = \frac{{AC}}{{AB}} \Rightarrow \frac{{AF}}{{AB}} = \frac{{A{\rm{E}}}}{{AC}}\]

Xét hai tam giác ΔAFE và ΔABC có:

Góc A chung

\[\frac{{AF}}{{AB}} = \frac{{A{\rm{E}}}}{{AC}}\]

Suy ra ΔAFE ∽ ΔABC (c.g.c)

\(\begin{array}{l}\Delta BAC \backsim \Delta BHA\left( {\widehat A = \widehat H;{{\widehat B}^{}}\ chung} \right)\\ \Rightarrow \frac{{BA}}{{BH}} = \frac{{AC}}{{HA}} \Rightarrow \frac{{HB}}{{HA}} = \frac{{BA}}{{AC}}(1)\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\Delta BAC \backsim \Delta AHC\left( {\widehat A = \widehat H,{{\widehat C}^{}}chung} \right)\\ \Rightarrow \widehat {HAC} = \widehat {ABC}(2)\end{array}\)

Vì M là trung điểm của AB nên \(\frac{{BM}}{{BA}} = \frac{1}{2}\)

Vì N là trung điểm của AC nên \(\frac{{AN}}{{AC}} = \frac{1}{2}\)

\( \Rightarrow \frac{{BM}}{{BA}} = \frac{{AN}}{{AC}} \Rightarrow \frac{{BM}}{{AN}} = \frac{{BA}}{{AC}}(3)\)

Từ (1), (3) suy ra: \(\frac{{HB}}{{HA}} = \frac{{BM}}{{AN}}\)

Xét hai tam giác HBM và HAN có:

\(\widehat {HAC} = \widehat {ABC} = \widehat {ABH}\)

\(\frac{{HB}}{{HA}} = \frac{{BM}}{{AN}}\)

\( \Rightarrow \Delta HBM \backsim \Delta HAN\) (c.g.c)

a) Gọi x là độ cao của cột đèn, có: \(\frac{{0,6}}{3} = \frac{{1,4}}{x}\)

=> x = 7m

b) Gọi y là độ dài bóng cột cờ, có \(\frac{3}{y} = \frac{{1,4}}{7}\)

=> y = 15m