Luyện tập chung trang 106

a) Gọi đường kính đáy của hình trụ là R (\(R > 0\), cm).

Khi đó, bán kính đáy của hình trụ là \(\frac{R}{2}\left( {cm} \right)\) và chiều cao là R (cm).

Thể tích hình trụ là:

\(V = \pi .{\left( {\frac{R}{2}} \right)^2}.R = \frac{{{R^3}\pi }}{4}\).

Vì thể tích hình trụ bằng \(2\pi \;c{m^3}\) nên ta có: \(\frac{{{R^3}\pi }}{4} = 2\pi \), suy ra \({R^3} = 8\) nên \(R = 2cm\) (do \(R > 0\))

Vậy chiều cao hình trụ là: \(h = 2cm\).

b) Diện tích xung quanh của hình trụ bán kính 1cm và chiều cao 2cm là:

\({S_{xq}} = 2\pi .1.2 = 4\pi \left( {c{m^2}} \right)\).

Diện tích hai đáy của hình trụ bán kính 1cm là:

\({S_1} = 2.\pi {.1^2} = 2\pi \left( {c{m^2}} \right)\).

Diện tích toàn phần của hình trụ là:

\(S = {S_{xq}} + {S_1} = 4\pi  + 2\pi  = 6\pi \left( {c{m^2}} \right)\).

Thể tích hình trụ có bán kính 7cm, chiều cao 10cm là:

\({V_1} = \pi {.7^2}.10 = 490\pi \left( {c{m^3}} \right)\).

Thể tích hình trụ có bán kính 5cm, chiều cao 10cm là:

\({V_2} = \pi {.5^2}.10 = 250\pi \left( {c{m^3}} \right)\).

Thể tích của vòng bi là:

\(V = {V_1} - {V_2} = 490\pi  - 250\pi  = 240\pi \left( {c{m^3}} \right)\).

Bán kính đường tròn đáy của hình nón là:

\(r = \frac{{35 - 2.10}}{2} = 7,5\left( {cm} \right)\).

Diện tích xung quanh hình nón là:

\({S_{xq}} = \pi rl = \pi .7,5.30 = 225\pi \left( {c{m^2}} \right)\).

Diện tích vành nón là:

\({S_1} = \pi .17,{5^2} - \pi .7,{5^2} = 250\pi \left( {c{m^2}} \right)\).

Diện tích vải cần dùng là:

\(S = {S_{xq}} + {S_1} = 225\pi  + 250\pi  = 475\pi  \approx 1492,3\left( {c{m^2}} \right)\).

Bán kính của mỗi viên bi là: \(R = \frac{2}{2} = 1\left( {cm} \right)\).

Thể tích nước tràn ra khỏi cốc bằng thể tích của 5 viên bi nên thể tích nước tràn ra ngoài là:

\(V = 5.\frac{4}{3}\pi {R^3} = 5.\frac{4}{3}\pi {.1^3} = \frac{{20}}{3}\pi \left( {c{m^3}} \right)\)

Bán kính hai nửa hình cầu là \(\frac{{1,8}}{2} = 0,9\left( m \right).\)

Thể tích hình trụ chiều cao 3,6m và bán kính 0,9m là:

\({V_1} = \pi .0,{9^2}.3,6 = 2,916\pi \left( {{m^3}} \right).\)

Thể thể tích hai nửa hình cầu bán kính 0,9m là:

\({V_2} = \frac{4}{3}.\pi .0,{9^3} = 0,972\pi \left( {{m^3}} \right).\)

Thể tích bồn chứa xăng là:

\(V = {V_1} + {V_2} = 2,916\pi  + 0,972\pi  = 3,888\pi  \approx 12,21\left( {{m^3}} \right).\)

Theo cách 1, chu vi đường tròn đáy bằng 240cm nên \(2\pi R = 240\), suy ra \(R = \frac{{120}}{\pi }cm\).

Thể tích hình trụ là:

\({V_1} = \pi .{\left( {\frac{{120}}{\pi }} \right)^2}.50 = \frac{{720\;000}}{\pi }\left( {c{m^3}} \right)\)

Theo cách 2, chu vi 1 đường tròn đáy bằng 120cm nên \(2\pi {R_1} = 120\), suy ra \({R_1} = \frac{{60}}{\pi }cm\)

Tổng thể tích hai hình trụ gò được là:

\({V_2} = 2.\pi .{\left( {\frac{{60}}{\pi }} \right)^2}.50 = \frac{{360\;000}}{\pi }\left( {c{m^3}} \right)\)

Do đó, \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{\frac{{720\;000}}{\pi }}}{{\frac{{360\;000}}{\pi }}} = 2\).