Bài tập cuối chương 1

1 vòng tròn tương ứng với 2π hay \({360^o}\). Vậy \(3\frac{1}{5}\) vòng là \(3\frac{1}{5}{.360^o} = 1{\rm{ }}152^\circ \).

Đáp án: C

Chọn A

Ta có tập xác định của hàm số \(y=cosx\) là \(\mathbb{R}.\)

Nếu với \(x\in\mathbb{R}\) thì \(-x\in\mathbb{R}\) và\(y\left(-x\right)=cos\left(-x\right)=cosx=y\left(x\right).\)

Vậy hàm số \(y=cosx\) là hàm số chẵn.

\(\Rightarrow B\)

Chọn A

Chọn B

Chọn C

Trong 3s, quạt quay được: \(3\cdot\dfrac{45}{60}=\dfrac{9}{4}\left(vòng\right)\)

Vậy quạt quay được 1 góc: \(2\pi\cdot\dfrac{9}{4}=\dfrac{9\pi}{2}\left(rad\right)\)

a, Ta có: \({\sin ^2}x + co{s^2}x = 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha  + {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow \sin \alpha  =  \pm \sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2}}  =  \pm \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\end{array}\)

Vì \( - \frac{\pi }{2} < \alpha  < 0\) nên \(sin\alpha  < 0 \Rightarrow \sin \alpha  =  - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).

\(b)\;\,sin2\alpha  = 2sin\alpha .cos\alpha  = 2.\left( { - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right).\frac{1}{3} =  - \frac{{4\sqrt 2 }}{9}\)

\(c)\;cos(\alpha  + \frac{\pi }{3}) = cos\alpha .cos\frac{\pi }{3} - sin\alpha .sin\frac{\pi }{3}\)\( = \frac{1}{3}.\frac{1}{2} - \left( { - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right).\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{2\sqrt 6  + 1}}{6}\).

\(a)\;sin(\alpha  + \beta ).sin(\alpha  - \beta ) = \;\frac{1}{2}.\left[ {cos\left( {\alpha  + \beta  - \alpha  + \beta } \right) - cos\left( {\alpha  + \beta  + \alpha  - \beta } \right)} \right]\)

\(\begin{array}{l} = \;\frac{1}{2}.(cos2\beta  - cos2\alpha ) = \;\frac{1}{2}.(1 - 2si{n^2}\beta  - 1 + 2si{n^2}\alpha )\\ = si{n^2}\alpha  - si{n^2}\beta \end{array}\)

\(\begin{array}{l}b)\;co{s^4}\alpha  - co{s^4}\left( {\alpha  - \frac{\pi }{2}} \right) = \;co{s^4}\alpha  - si{n^4}\alpha \\ = \;(co{s^2}\alpha  + si{n^2}\alpha )(co{s^2}\alpha  - si{n^2}\alpha )\\ = \;co{s^2}\alpha -si{n^2}\alpha  = cos2\alpha .\end{array}\)

Xét phương trình \(sin\left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) - sin2x = 0\;\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow sin\left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) = sin2x.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{6} = 2x + k2\pi \\x + \frac{\pi }{6} = \pi  - 2x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Với \(x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \) có nghiệm dương bé nhất là \(x = \frac{\pi }{6}\) khi \(k = 0\).

Với \(x = \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3}\) có nghiệm dương bé nhất là \(x = \frac{{5\pi }}{{18}}\) khi \(k = 0\).

Vậy nghiệm dương bé nhất của phương trình đã cho là \(x = \frac{\pi }{6}\).