Bài tập cuối chương 1

Ta có: \(\frac{{25\pi }}{3} = \frac{\pi }{3} + 4.2\pi .\) Do đó điểm biểu diễn cung lượng giác \(\frac{{25\pi }}{3}\) trùng với điểm biểu diễn cung lượng giác \(\frac{\pi }{3}\).

Vậy ta chọn đáp án A

Ta có: \(\cos \left( {\pi  - \alpha } \right) =  - \cos \alpha \)

Vậy ta chọn đáp án B

Ta có: \(\cos \left( {a - b} \right) = \cos a\cos b + \sin a\sin b\)

Vậy ta chọn đáp án A

\(\cos \left( {a + b} \right)\cos \left( {a - b} \right) - \sin \left( {a + b} \right)\sin \left( {a - b} \right)\)

\( = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b - a + b} \right) + \cos \left( {a + b + a - b} \right)} \right] - \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b - a + b} \right) - \cos \left( {a + b + a - b} \right)} \right]\)

\( = \frac{1}{2}\left( {\cos 2b + \cos 2a - \cos 2b + \cos 2a} \right) = \frac{1}{2}.2\cos 2a = \cos 2a = 1 - 2{\sin ^2}a\)

Vậy chọn đáp án C

Ta có: \(y = \cos x\)

\(y\left( { - x} \right) = \cos \left( { - x} \right) = \cos x = y\)

Suy ra hàm số \(y = \cos x\) là hàm số chẵn

Vậy ta chọn đáp án C

Hàm \(y = \cot x\)là hàm tuần hoàn với chu kì \(T = \pi \)do :

- Tập xác định là \(D = R\backslash \left\{ {k\pi ;k \in Z} \right\}\)

- Với mọi \(x \in D\), ta có \(x - \pi \; \in D\) và \(x + \pi  \in D\;\)

Suy ra

 \(\begin{array}{l}f\left( {x + \pi } \right) = \cot \left( {x + \pi } \right) = \cot \left( x \right) = f(x)\\f\left( {x - \pi } \right) = \cot \left( {x - \pi } \right) = \cot \left( x \right) = f\left( x \right)\end{array}\)

Phương trình hoàn độ giao điểm của hai đồ thì hàm số là \(\sin x = \cos x\)

\( \Leftrightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi \;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Do \(x \in \left[ { - 2\pi ;\frac{{5\pi }}{2}} \right]\; \Leftrightarrow  - 2\pi  \le \frac{\pi }{4} + k\pi  \le \frac{{5\pi }}{2}\;\; \Leftrightarrow \; - \frac{9}{4} \le k \le \frac{9}{4}\;\;\;\)

Mà \(k\; \in \mathbb{Z}\;\; \Leftrightarrow k\; \in \left\{ { - 2;\; - 1;0;1;2} \right\}\)

Vậy ta chọn đáp án A

Hàm số xác định khi: \(\sin x - 1\; \ne 0\; \Leftrightarrow \sin x \ne 1\; \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k2\pi ,\;\;k \in \mathbb{Z}\)

Vậy ta chọn đáp án B

Ta có:

a) \(\sin \left( {\alpha  + \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \alpha \cos \frac{\pi }{6} + \cos \alpha \sin \frac{\pi }{6} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right).\frac{1}{2} = \frac{{ - \sqrt 3  + 3\sqrt 2 }}{6}\)      

b) \(\cos \left( {\alpha  + \frac{\pi }{6}} \right) = \cos \alpha .\cos \frac{\pi }{6} - \sin \alpha \sin \frac{\pi }{6} = \left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right).\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{{\sqrt 6 }}{3}.\frac{1}{2} =  - \frac{{3 + \sqrt 6 }}{6}\)

c) \(\sin \left( {\alpha  - \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \alpha \cos \frac{\pi }{3} - \cos \alpha \sin \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}.\frac{1}{2} - \left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right).\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3 + \sqrt 6 }}{6}\)

d) \(\cos \left( {\alpha  - \frac{\pi }{6}} \right) = \cos \alpha \cos \frac{\pi }{6} + \sin \alpha \sin \frac{\pi }{6} = \left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right).\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{{\sqrt 6 }}{3}.\frac{1}{2} = \frac{{ - 3 + \sqrt 6 }}{6}\)

a) Ta có: \({\left( {\sin \alpha  + \cos \alpha } \right)^2} = {\sin ^2}\alpha  + 2\sin \alpha \cos \alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1 + \sin 2\alpha \;\)

b) \({\cos ^4}\alpha  - {\sin ^4}\alpha  = \left( {{{\cos }^2}\alpha  - {{\sin }^2}\alpha } \right)\left( {{{\cos }^2}\alpha  + {{\sin }^2}\alpha } \right) = \cos 2\alpha \;\)