Bài 9. Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Ta có \(\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2}.25}  = \sqrt {9.25}  = \sqrt {225}  = 15\)

\(\left| { - 3} \right|.\sqrt {25}  = 3.5 = 15\)

Do đó ta có \(\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2}.25}  = \left| { - 3} \right|.\sqrt {25} \)

a) \(\sqrt {12}  = \sqrt {4.3}  = \sqrt {{2^2}.3}  = 2\sqrt 3 \)

b) \(3\sqrt {27}  = 3\sqrt {9.3}  = 3.\sqrt {{3^2}.3}  = 3.3.\sqrt 3  = 9\sqrt 3 \)

c) \(5\sqrt {48}  = 5.\sqrt {16.3}  = 5.\sqrt {{4^2}.3}  = 5.4.\sqrt 3  = 20\sqrt 3 \)

Ta có: \(\sqrt {\frac{3}{5}}  = \sqrt {\frac{{3.5}}{{5.5}}}  = \sqrt {\frac{{15}}{{{5^2}}}}  = \frac{{\sqrt {15} }}{{\sqrt {{5^2}} }} = \frac{{\sqrt {15} }}{5}\)

Ta có: \(\sqrt {{a^2}.b}  = \left| a \right|.\sqrt b \) nên \(\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2}.5}  = \left| { - 2} \right|.\sqrt 5  = 2\sqrt 5 \)

Vậy ta có thể kết luận Vuông làm sai.

a) Ta có \(5.\sqrt 4  = 5.2 = 10\);\(\sqrt {{5^2}.4}  = \sqrt {100}  = 10\).

Do đó \(5.\sqrt 4  = \sqrt {{5^2}.4} \)

b) \( - 5.\sqrt 4  =  - 5.2 =  - 10\); \( - \sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2}.4}  =  - \left| { - 5} \right|.\sqrt 4  =  - 5.2 =  - 10\).

Do đó \( - 5.\sqrt 4  =  - \sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2}.4} \)

a) Ta có \(3\sqrt 5  = \sqrt {{3^2}} .\sqrt 5  = \sqrt {9.5}  = \sqrt {45} \)

b) Ta có \( - 2\sqrt 7  =  - \left( {2\sqrt 7 } \right) =  - \sqrt {{2^2}} .\sqrt 7  =  - \sqrt {28} \)

Ta có: \(\frac{{3a}}{{2\sqrt 2 }} = \frac{{3a.\sqrt 2 }}{{2\sqrt 2 .\sqrt 2 }} = \frac{{3a\sqrt 2 }}{{2.2}} = \frac{{3\sqrt 2 a}}{4}\)

a) Biểu thức liên hợp của \(\sqrt 3  + 1\) là \(\sqrt 3  - 1\) và của \(\sqrt 3  - \sqrt 2 \) là \(\sqrt 3  + \sqrt 2 \)

b) Ta có:

\(\frac{{ - 2}}{{\sqrt 3  + 1}} = \frac{{ - 2\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 3  + 1} \right)\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}}\); \(\frac{1}{{\sqrt 3  - \sqrt 2 }} = \frac{{1\left( {\sqrt 3  + \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {\sqrt 3  - \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 3  + \sqrt 2 } \right)}}\)

c) \(\frac{{ - 2}}{{\sqrt 3  + 1}}\)\( = \frac{{ - 2\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 3  + 1} \right)\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}}\)\( = \frac{{ - 2\sqrt 3  + 2}}{{3 - 1}}\)\( = \frac{{ - 2\sqrt 3  + 2}}{2}\)\( =  - \sqrt 3  + 1\)

\(\frac{1}{{\sqrt 3  - \sqrt 2 }}\)\( = \frac{{\sqrt 3  + \sqrt 2 }}{{\left( {\sqrt 3  - \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 3  + \sqrt 2 } \right)}}\)\( = \frac{{\sqrt 3  + \sqrt 2 }}{{3 - 2}}\)\( = \sqrt 3  + \sqrt 2 \)

a) \(\frac{{ - 5\sqrt {{x^2} + 1} }}{{2\sqrt 3 }} = \frac{{ - 5\sqrt {{x^2} + 1} .\sqrt 3 }}{{2\sqrt 3 .\sqrt 3 }} = \frac{{ - 5\sqrt {3\left( {{x^2} + 1} \right)} }}{6}\)

b) \(\frac{{{a^2} - 2a}}{{\sqrt a  + \sqrt 2 }}\)\( = \frac{{a\left( {a - 2} \right)\left( {\sqrt a  - \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {\sqrt a  + \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt a  - \sqrt 2 } \right)}}\)\( = \frac{{a\left( {a - 2} \right)\left( {\sqrt a  - \sqrt 2 } \right)}}{{a - 2}}\)\( = a\left( {\sqrt a  - \sqrt 2 } \right)\)