Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ

a)

 \(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DA}  = \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} } \right) + \left( {\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DA} } \right)\\ = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CA}  = \overrightarrow {AA}  = \overrightarrow 0 .\end{array}\)

b)

\(\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {DC} \) và \(\overrightarrow {BC}  - \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {DC} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC}  - \overrightarrow {BD} \)

Tham khảo:

Ta có: \( \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  =  \overrightarrow {AC} \) (do ABCD là hình bình hành)

\( \Rightarrow \overrightarrow {BM}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} \)

\( \Rightarrow \) Tứ giác ABMC là hình bình hành.

\( \Rightarrow  \overrightarrow {DC} =\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {CM} \). 

\( \Rightarrow C\) là trung điểm DM.

Vậy M thuộc DC sao cho C là trung điểm DM.

Chú ý khi giải

+) Tứ giác ABCD là hình bình hành \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC} \)

+) ABCD là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} \)

Tham khảo:

\(\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {BA} \) do hai vectơ \(\overrightarrow {CD} ,\;\overrightarrow {BA} \) cùng hướng và \(CD = BA\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {CA} \\ \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {CD} } \right| = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| = CA\end{array}\)

Xét tam giác ABC, ta có:

\(BA = BC\) và \(\widehat {BAC} = \frac{1}{2}.\widehat {BAD} = {60^o}\)

\( \Rightarrow \Delta ABC\) đều, hay \(CA = BC = 1\)

Vậy \(\left| {\overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {CD} } \right| = 1.\)

Dựa vào tính chất kết hợp, ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {BA}  = \left( {\overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {CD} } \right) + \overrightarrow {BA} \\ = \left( {\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DB} } \right) + \overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {CA} .\\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {BA} } \right| = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| = CA = 1.\end{array}\)

Tham khảo:

Khẩu pháo chịu tác động của ba lực: trọng lực \(\overrightarrow P \)(kí hiệu \(\overrightarrow {OA} \)), phản lực \(\overrightarrow w \)(kí hiệu \(\overrightarrow {OB} \)) và lực kéo \(\overrightarrow F \). Để kéo pháo thì độ lớn của lực kéo phải lớn hơn độ lớn của lực kéo khi pháo cân bằng \(\overrightarrow {{F_o}} \)(kí hiệu \(\overrightarrow {O{F_o}} \) )

Khi pháo cân bằng thì: \(\overrightarrow P  + \overrightarrow w  + \overrightarrow {{F_o}}  = \overrightarrow 0 \)

Để tổng hợp lực \(\overrightarrow P \) và \(\overrightarrow w \), ta vẽ hình bình hành OACB.

Ta có:

\(OB = \;AC;\;\;OB//\;AC\;\; \Rightarrow \overrightarrow {OB}  = \;\overrightarrow {AC} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OA}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {OA}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {OC} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow 0  = \overrightarrow P  + \overrightarrow w  + \overrightarrow {{F_o}}  = \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {O{F_o}}  = \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {O{F_o}} \)

\( \Rightarrow \;O\) là trung điểm của \(C{F_o}\), hay \(OC = \left| {\overrightarrow {{F_o}} } \right|\).

Lại có: \(OB \bot \;\;OC\)(do \(\overrightarrow {OB} \) là phản lực)

\( \Rightarrow \;AC \bot CO \Rightarrow OC = OA\,.\,\,\cos \widehat {AOC}\)

Mà \(\widehat {AOC} = {90^o} - {30^o} = {60^o}\); \(\left| {\overrightarrow P } \right| = OA = 22\;148\;N\)

\( \Rightarrow OC = 22\;148\,.\,\,\cos {60^o} = 11074\;\left( N \right)\)

Vậy lực \(\overrightarrow {{F_o}} \)có độ lớn là \(11\;074\;N\), để kéo pháo thì lực \(\overrightarrow F \) cùng hướng với \(\overrightarrow {{F_o}} \) và \(\left| {\overrightarrow F } \right| > 11\;074\;N\)

Vì \(11\;074\;:100 = 110,74\) nên cần tối thiểu 111 người để kéo pháo.

Tham khảo:

Chẳng hạn khi hai đội kéo co bất phân thắng bại.

Hai đội cùng kéo dây nhằm kéo dây về phía mình, khi lực từ hai phía bằng nhau thì điểm buộc dây gần như không dịch chuyển. Khi đó ta nói lực kéo của hai đội là cân bằng.

Vecto biểu diễn lực, thể hiện phương, chiều và độ lớn. Dễ thấy hai lực này ngược hướng (cùng phương, ngược chiều) và có chung điểm đầu là điểm cân bằng, độ lớn như nhau.

Vậy hai lực cân bằng là hai lực mà khi tác dụng đồng thời vào 1 điểm (hay vật) thì điểm (vật) đó không di chuyển.

a) Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow a ,\;\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow b \) nên \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} \)

Mặt khác: \(\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow b ,\;\overrightarrow {DC}  = \overrightarrow a \) nên \(\overrightarrow b  + \overrightarrow a  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {AC} \)

Do đó \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \overrightarrow b  + \overrightarrow a \).

b) Theo câu a) ta có \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow c \) nên \(\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right) + \overrightarrow c  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AD} \).

Mặt khác: \(\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow b ,\;\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow c \) nên \(\overrightarrow b  + \overrightarrow c  = \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {BD} \)

Và \(\overrightarrow a  = \overrightarrow {AB} \) nên \(\overrightarrow a  + \left( {\overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right) = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AD} \)

Vậy \(\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right) + \overrightarrow c  = \overrightarrow a  + \left( {\overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right)\)

\(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow a \;\;\, \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB//\;a\\AB = a\end{array} \right.\) và \(\overrightarrow {A'B'}  = \overrightarrow a \;\;\, \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A'B'\;//\;a\\A'B' = a\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB//\;A'B'\\AB = A'B'\end{array} \right.\)

Tương tự, ta cũng suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}BC//\;B'C'\\BC = B'C'\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \Delta ABC = \Delta A'B'C'\)(c-g-c)

\(\left\{ \begin{array}{l}AC//\;A'C'\\AC = A'C'\end{array} \right.\)

Dễ dàng suy ra  \(\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {A'C'} \).

Gọi: vận tốc thực tế của tàu là \(\overrightarrow v \)

Vận tốc riêng của tàu (đối với dòng nước) là \(\overrightarrow {{v_t}} \)

Vận tốc của dòng nước (đối với bờ) là \(\overrightarrow {{v_n}} \)

Ta có: \(\overrightarrow v  = \overrightarrow {{v_n}}  + \overrightarrow {{v_t}} \)

Để tàu sang bờ bên kia nhanh nhất thì vận tốc thực tế của tàu có hướng vuông góc với bờ.

Theo quy tắc hình bình hành thì \(\overrightarrow v \) là vecto đường chéo xuất phát từ gốc chung của vecto vận tốc riêng của tàu và vecto vận tốc dòng nước tác động lên tàu.

Vì ABCD là hình bình hành nên \(\left\{ \begin{array}{l}AD//\;BC\\AD = BC\end{array} \right.\), hay \(\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC} \).

Do đó \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} \).

Tham khảo:

Dễ thấy: \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {MA} \); \(\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {MB} \)

Tương tự: \(\overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {ON}  + \overrightarrow {NC} \); \(\overrightarrow {OD}  = \overrightarrow {ON}  + \overrightarrow {ND} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}  = \left( {\overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {MA} } \right) + \left( {\overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {MB} } \right) + \left( {\overrightarrow {ON}  + \overrightarrow {NC} } \right) + \left( {\overrightarrow {ON}  + \overrightarrow {ND} } \right)\\ = \left( {\overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right) + \left( {\overrightarrow {ON}  + \overrightarrow {ON}  + \overrightarrow {NC}  + \overrightarrow {ND} } \right)\\ = \overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {ON}  + \overrightarrow {ON} \\ = \left( {\overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {ON} } \right) + \left( {\overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {ON} } \right)\\ = \overrightarrow 0  + \overrightarrow 0 \\ = \overrightarrow 0 .\end{array}\)