Bài 7. Hình vuông

* Hình vuông có những tính chất sau:

- Các cạnh đối song song.

- Hai đường chéo bằng nhau, vuông góc với nahu tại trung điểm của mỗi đường.

- Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc ở đỉnh.

* Hình vuông có những dấu hiệu nhận biết sau:

- Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.

- Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông.

- Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông.

Do tứ giác ABCD là hình vuông nên các cạnh AB, BC, CD, DA bằng nhau và các góc \(\widehat{ABC},\widehat{BCD},\widehat{CDA},\widehat{DAB}\) bằng nhau và bằng 90^o.

a) Mỗi hình vuông có là hình chữ nhật vì có 4 góc bằng nhau và bằng 90^o

b) Mỗi hình vuông có là một hình thoi vì có các cạnh bằng nhau

Do tứ giác ABCD là hình vuông \(\Rightarrow\widehat{CAB}=\widehat{DAC}=\dfrac{\widehat{BAD}}{2}=\dfrac{90^o}{2}=45^o\)

a, Hình chữ nhật ABCD có AB = BC

Suy ra hình chữ nhật ABCD có \(\widehat A = \widehat B = \widehat C = \widehat D = {90^0};AB = BC = CD = DA\)

Suy ra hình chữ nhật ABCD là hình vuông

b, O là giao điểm của AC và BD.

Vì ABCD là hình chữ nhật nên OB = OD.

Mà AC vuông góc BD. Suy ra AC là đường trung trực của đoạn thẳng BD.

Xét \(\Delta ABD\) có AO vừa là đường trung trực vừa là đường cao

\( \Rightarrow \Delta ABD \) là tam giác vuông cân tại A.

\( \Rightarrow AB = AD\)

Mà AB = CD, AD = BC (tính chất hình chữ nhật)

\(\Rightarrow AB = BC = CD = DA\) nên ABCD là hình vuông.

c, Ta có ABCD là hình chữ nhật nên \(\widehat A =\widehat B = \widehat C = \widehat D = 90^0\)

Vì AC là tia phân giác của góc DAB nên ta có: \(\widehat{DAC} = \widehat{CAB} =\frac{\widehat{DAB}}{2} = \frac{90^0}{2} = 45^0\)

Xét tam giác ABC vuông tại B (\(\widehat B = 90^0\)), ta có:

\(\widehat{ACB} + \widehat B + \widehat{CAB} = 180^0\)

\(\Rightarrow \widehat{ACB} = 180^0 - \widehat B - \widehat{CAB} = 180^0 - 90^0 - 45^0 = 45^0\)

\( \Rightarrow \widehat{ACB} = \widehat{CAB} =45^0\) nên tam giác ABC vuông cân tại B.

\( \Rightarrow AB = BC\)

Mà AB = CD, BC = AD (tính chất hình chữ nhật)

\(\Rightarrow AB = BC = CD = DA\) nên ABCD là hình vuông.

Xét \(\Delta ABC\) vuông cân tại A

\( \Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {ACB} = {45^0}\)

Xét \(\Delta HDB\) vuông tại D có: \(\widehat {DBH} = \widehat {ABC} = {45^0}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat {BHD} = {90^0} - \widehat {DBH} = {90^0} - {45^0} = {45^0}\\ \Rightarrow \widehat {BHD} = \widehat {DBH} = {45^0}\end{array}\)

\( \Rightarrow \Delta HDB\)vuông cân tại D suy ra DB = DH (1)

Xét \(\Delta EGC\)vuông tại E có \(\widehat {ECG} = \widehat {BCA} = {45^0}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat {CGE} = {90^0} - \widehat {ECG} = {90^0} - {45^0} = {45^0}\\ \Rightarrow \widehat {CGE} = \widehat {ECG} = {45^0}\end{array}\)

\( \Rightarrow \Delta EGC\)vuông cân tại E suy ra EC = EG (2)

Theo đề bài: BD = DE = EC (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: HD = DE =EG.

Xét tứ giác HDEG có HD//EG (vì cùng vuông góc với BC) HD = EG

Suy ra tứ giác HDEG là hình bình hành mà : \(\widehat {HDE} = {90^0}\)

Suy ra hình bình hành HDEG là hình chữ nhật.

Mặt khác: HD =DE. Suy ra hình chữ nhật HDEG là hình vuông

Xét tứ giác AHDK có: \(\widehat A = \widehat H = \widehat K = {90^0}\)

Suy ra tứ giác AHDK là hình chữ nhật

Mà: AD là tia phân giác của \(\widehat {HAK}\)

Suy ra hình chữ nhật AHDK là hình vuông

Giả sử có hai hình vuông ABCD và EFGH có độ dài 1 dm. Khi đó các đường chéo của hai hình vuông có độ dài \(\sqrt 2 dm\).

Bước 1: Cắt theo đường chéo theo đường chéo AC ta được hai mảnh tam giác có độ dài cạnh lớn nhất là \(\sqrt 2 dm\).

Bước 2: Cắt theo đường chéo theo đường chéo EG ta được hai mảnh tam giác có độ dài cạnh lớn nhất là \(\sqrt 2 dm\).

Bước 3: Ghép 4 hình tam giác sao cho cạnh lớn nhất là cạnh của hình vuông ta được hình vuông có độ dài cạnh là \(\sqrt 2 dm\)