Bài 3. Định lí Viète

\({x_1} + {x_2}\) = \(\frac{{ - b + \sqrt \Delta  }}{{2a}} + \frac{{ - b - \sqrt \Delta  }}{{2a}} =  - \frac{{2b}}{{2a}} =  - \frac{b}{a}\)

\({x_1}.{x_2} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta  }}{{2a}}.\frac{{ - b - \sqrt \Delta  }}{{2a}} = \frac{{{{( - b)}^2} - \Delta }}{{4{a^2}}} \\= \frac{{{b^2} - ({b^2} - 4ac)}}{{4{a^2}}} = \frac{{4ac}}{{4{a^2}}} = \frac{c}{a}\)

a) Ta có \(\Delta  = {\left( { - 2\sqrt 7 } \right)^2} - 4.1.7 = 0\) nên phương trình có nghiệm kép \({x_1},{x_2}\). Theo định lí Viète, ta có: \({x_1} + {x_2} = 2\sqrt 7 \), \({x_1}.{x_2} = 7\).

b) Ta có \(\Delta  = {\left( { - 2} \right)^2} - 4.15.( - 7) = 424 > 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\). Theo định lí Viète, ta có: \({x_1} + {x_2} = \frac{2}{{15}}\), \({x_1}.{x_2} = \frac{{ - 7}}{{15}}\).

c) Ta có \(\Delta  = {\left( { - 12} \right)^2} - 4.35.2 =  - 136 < 0\) nên phương trình vô nghiệm.

Phương trình \({x^2} + 4x - 21 = 0\) có \(\Delta  = {4^2} - 4.( - 21) = 100 > 0\) nên nó có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).

Theo định lí Viète, ta có:

\({x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a} =  - 4\);\({x_1}.{x_2} = \frac{c}{a} =  - 21\)

a) Ta có \(\frac{2}{{{x_1}}} + \frac{2}{{{x_2}}} = \frac{{2\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{{{x_1}.{x_2}}} = \frac{{2.( - 4)}}{{ - 21}} = \frac{8}{{21}}\)

b) \({x_1}^2 + {x_2}^2 - {x_1}.{x_2}\)

\(= {x_1}^2 + {x_2}^2 + 2{x_1}.{x_2} - 3{x_1}.{x_2}\)

\(= \left({x_1}^2 + 2{x_1}.{x_2} + {x_2}^2 \right) - 3{x_1}.{x_2}\)

\(= \left({x_1} + {x_2}\right)^2  - 3{x_1}.{x_2}\)

\(= {( - 4)^2} - 3.( - 21) = 79\).

a) Phương trình \( - 315{x^2} - 27x + 342 = 0\)có a + b + c = -315 – 27 + 342 = 0.

Vậy phương trình có hai nghiệm là \({x_1} = 1\); \({x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{342}}{{ - 315}} =  - \frac{{38}}{{35}}\)

b) Phương trình \(2022{x^2} + 2023x + 1 = 0\) có a - b + c = 2022 – 2023 + 1 = 0.

Vậy phương trình có hai nghiệm là \({x_1} =  - 1\); \({x_2} =  - \frac{c}{a} =  - \frac{1}{{2022}}\).

a) Từ u + v = 8 suy ra u = 8 – v thay vào uv = 15 ta được phương trình ẩn v là:

(8 – v).v = 15 hay 8v – v² = 15. 

b) Từ u + v = 8 suy ra v = 8 – u thay vào uv = 15 ta được phương trình ẩn u là:

u.(8 – u) = 15 hay  8u – u² = 15.

Ta có thể viết thành u² – 8u + 15 = 0.

a) Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình \({x^2} - 15x + 44 = 0\).

Ta có: \(\Delta  = {\left( { - 15} \right)^2} - 4.1.44 = 49 > 0;\sqrt \Delta   = \sqrt {49}  = 7\);

\({x_1} = \frac{{15 + 7}}{2} = 11;{x_2} = \frac{{15 - 7}}{2} = 4\)

Vậy hai số cần tìm là 11 và 4.

b) Để tồn tại hai số a và b phải thỏa mãn \({S^2} - 4P \ge 0\)

Ta có \({7^2} - 4.13 =  - 3 < 0\) suy ra không tồn tại hai số a và b có tổng bằng 7 và tích bằng 13.

Gọi \({x_1},{x_2}\) lần lượt là chiều dài và chiều rộng của khu vườn.

Nửa chu vi là 60 m hay \({x_1} + {x_2} = 60\).

Diện tích 884 m² hay \({x_1}.{x_2} = 884\)

\({x_1},{x_2}\) là nghiệm của phương trình \({x^2} - 60x + 884 = 0\)

Ta có \(\Delta  = {\left( { - 60} \right)^2} - 4.1.884 = 64 > 0;\sqrt \Delta   = \sqrt {64}  = 8\);

\({x_1} = \frac{{60 + 8}}{2} = 34;{x_2} = \frac{{60 - 8}}{2} = 26\).

Vậy chiều dài khu vườn là 34 m và chiều rộng là 26 m.

a) Ta có \(\Delta  = {\left( { - 9} \right)^2} - 4.3.5 = 21 > 0\) nên phương trình có có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).

Theo định lí Viète, ta có: \({x_1} + {x_2} = \frac{9}{3} = 3\), \({x_1}.{x_2} = \frac{5}{3}\)

b) Ta có \(\Delta  = {\left( { - 20} \right)^2} - 4.25.4 = 0\) nên phương trình có nghiệm kép \({x_1},{x_2}\).

Theo định lí Viète, ta có: \({x_1} + {x_2} = \frac{{ -(- 20)}}{{25}} = \frac{{ 4}}{5}\), \({x_1}.{x_2} = \frac{4}{{25}}\).

c) Ta có \(\Delta  = {\left( { - 9} \right)^2} - 4.5.15 =  - 219 < 0\) nên phương trình vô nghiệm.

d) Ta có \(\Delta  = {\left( { - 2\sqrt 3 } \right)^2} - 4.5.( - 3) = 72 > 0\) nên phương trình có có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).

Theo định lí Viète, ta có: \({x_1} + {x_2} = \frac{{2\sqrt 3 }}{5}\), \({x_1}.{x_2} = \frac{{ - 3}}{5}\).

a) Phương trình \(24{x^2} - 19x - 5 = 0\) có a + b + c = 24 – 19 – 5 = 0.

Vậy phương trình có hai nghiệm là \({x_1} = 1\); \({x_2} = \frac{c}{a} =  - \frac{5}{{24}}\)

b) Phương trình \(2,5{x^2} + 7,2x + 4,7 = 0\) có a - b + c = 2,5 – 7,2 + 4,7 = 0.

Vậy phương trình có hai nghiệm là \({x_1} =  - 1\); \({x_2} =  - \frac{c}{a} =  - \frac{{4,7}}{{2,5}} =  - \frac{{47}}{{25}}\).

c) Phương trình \(\frac{3}{2}{x^2} + 5x + \frac{7}{2} = 0\) có a - b + c = \(\frac{3}{2} - 5 + \frac{7}{2} = 0\).

Vậy phương trình có hai nghiệm là \({x_1} =  - 1\); \({x_2} =  - \frac{c}{a} =  - \frac{7}{2}:\frac{3}{2} =  - \frac{7}{3}\).

d) Phương trình \(2{x^2} - (2 + \sqrt 3 )x + \sqrt 3  = 0\) có a + b + c = \(2 - (2 + \sqrt 3 ) + \sqrt 3  = 0\).

 Vậy phương trình có hai nghiệm là \({x_1} = 1\); \({x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

a) Điều kiện có hai số đó là: \({S^2} - 4P \ge 0\) suy ra \({29^2} - 4.154 = 225 \ge 0\)

Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình \({x^2} - 29x + 154 = 0\).

Ta có:

\(\Delta  = {29^2} - 4.1.154 = 225 > 0;\sqrt \Delta   = \sqrt {225}  = 15\)

Suy ra \(u = \frac{{29 + 15}}{2} = 22;v = \frac{{29 - 15}}{2} = 7\)

Vậy hai số cần tìm là 22 và 7.

b) Điều kiện có hai số đó là: \({S^2} - 4P \ge 0\) suy ra \({( - 6)^2} - 4.( - 135) = 576 \ge 0\)

Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình \({x^2} + 6x - 135 = 0\).

Ta có:

\(\Delta  = {6^2} - 4.1.( - 135) = 576 > 0;\sqrt \Delta   = \sqrt {576}  = 24\)

Suy ra \(u = \frac{{ - 6 + 24}}{2} = 9;v = \frac{{ - 6 - 24}}{2} =  - 15\)

Vậy hai số cần tìm là 9 và – 15 .

c) Điều kiện có hai số đó là: \({S^2} - 4P \ge 0\) suy ra \({(5)^2} - 4.24 =  - 71 < 0\)

Vậy không tồn tại hai số u và v thỏa mãn u + v = 5, uv = 24.