Bài 3. Cấp số nhân

a)    Ta có:

\(\frac{{{u_n}}}{{{u_{n - 1}}}} = \frac{{ - \frac{3}{4}{{.2}^n}}}{{ - \frac{3}{4}{{.2}^{n - 1}}}} = \frac{{{2^n}}}{{{2^{n - 1}}}} = {2^1} = 2\)

 Dãy số là cấp số nhân

b)    Ta có: \(\frac{{{u_n}}}{{{u_{n - 1}}}} = \frac{{\frac{5}{{{3^n}}}}}{{\frac{5}{{{3^{n - 1}}}}}} = {3^{ - 1}} = \frac{1}{3}\)

 Dãy số là cấp số nhân

c)    Ta có: \(\frac{{{u_n}}}{{{u_{n - 1}}}} = \frac{{{{\left( { - 0,75} \right)}^n}}}{{{{\left( { - 0,75} \right)}^{n - 1}}}} = {\left( { - 0,75} \right)^{ - 1}} =  - \frac{4}{3}\)

 Dãy số là cấp số nhân

a)    \({u_9} = {u_1}.{q^{9 - 1}} = \left( { - 5} \right){.2^8} =  - 1280\)

b)    Ta có: \( - 320 = \left( { - 5} \right){.2^{n - 1}} \Leftrightarrow {2^{n - 1}} = 64 \Leftrightarrow n = 7\)

 \( - 320\) là số hạng thứ 7 của cấp số nhân

c)    Ta có: \(160 = \left( { - 5} \right){.2^{n - 1}} \Leftrightarrow {2^{n - 1}} =  - {2^5}\)

 160 không là số hạng của cấp số nhân

Số tiền ban đầu T₁ = 100 (triệu đồng).

Số tiền sau 1 năm bác Linh thu được là:

T₂ = 100 + 100.6% = 100.(1 + 6%) (triệu đồng).

Số tiền sau 2 năm bác Linh thu được là:

T₃ = 100.(1 + 6%) + 100.(1 + 6%).6% = 100.(1 + 6%)² (triệu đồng).

Số tiền sau 3 năm bác Linh thu được là:

T_n = 100.(1 + 6%)² + 100.(1 + 6%)².6% = 100.(1 + 6%)³ (triệu đồng).

Số tiền sau n năm bác Linh thu được chính là một cấp số nhân với số hạng đầu T₁ = 100 và công bội q = 1 + 6% có số hạng tổng quát là:

T_n+1 = 100.(1 + 6%)ⁿ (triệu đồng).

a)    Ta có:

\(\begin{array}{l} - 0,5:5 =  - 0,1\\0,05:\left( { - 0,5} \right) =  - 0,1\\ - 0,005:0,05 =  - 0,1\\0,0005:\left( { - 0,005} \right) =  - 0,1\end{array}\)

 Dãy số là cấp số nhân

b)    Ta có:

\(\begin{array}{l}3:\left( { - 9} \right) =  - \frac{1}{3}\\\left( { - 1} \right):3 =  - \frac{1}{3}\\\frac{1}{3}:\left( { - 1} \right) =  - \frac{1}{3}\\ - \frac{1}{9}:\left( {\frac{1}{3}} \right) =  - \frac{1}{3}\end{array}\)

 Dãy số là cấp số nhân

c)    Ta có:

\(\begin{array}{l}8:2 = 4\\32:8 = 4\\64:32 = 2\end{array}\)

 Dãy số không là cấp số nhân

a)    Ta có:

\({S_n}.q = \left( {{u_1} + {u_1}q + {u_1}{q^2} + ... + {u_1}{q^{n - 1}}} \right).q = {u_1}\left( {1 + q + {q^2} + ... + {q^{n - 1}}} \right).q = {u_1}\left( {q + {q^2} + {q^3} + ... + {q^n}} \right)\)

\(\begin{array}{l}{S_n} - {S_n}.q = {u_1} + {u_1}q + {u_1}{q^2} + ... + {u_1}{q^{n - 1}} - {u_1}\left( {q + {q^2} + {q^3} + ... + {q^n}} \right)\\ = {u_1}\left( {1 + q + {q^2} + ... + {q^{n - 1}}} \right) - {u_1}\left( {q + {q^2} + {q^3} + ... + {q^n}} \right)\\ = {u_1}\left( {1 + q + {q^2} + ... + {q^{n - 1}} - \left( {q + {q^2} + {q^3} + ... + {q^n}} \right)} \right)\\ = {u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)\end{array}\)

b)    Ta có: \({S_n} - {S_n}.q = {u_1}\left( {1 - {q^n}} \right) \Leftrightarrow {S_n}\left( {1 - q} \right) = {u_1}\left( {1 - {q^n}} \right) \Leftrightarrow {S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{\left( {1 - q} \right)}}\)

a)    Ta có:

-        Số hạng thứ nhất: \({u_1}\)

-        Số hạng thứ hai: \({u_2} = {u_1}.q\)

-        Số hạng thứ ba: \({u_3} = {u_2}.q = \left( {{u_1}.q} \right).q = {u_1}.{q^2}\)

-        Số hạng thứ tư: \({u_4} = {u_3}.q = \left( {{u_1}.{q^2}} \right).q = {u_1}.{q^3}\)

-        Số hạng thứ năm: \({u_5} = {u_4}.q = \left( {{u_1}.{q^3}} \right).q = {u_1}.{q^4}\)

b)    Dự đoán công thức tính: \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}\)

a) (u_n) là cấp số nhân có công bội \(q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{ - 2}}{{ - 6}} = \frac{1}{3}\).

b) Năm số hạng đầu tiên của dãy cấp số nhân là:

u₁ = – 6, u₂ = – 2; \({u_3} = \left( { - 6} \right).{\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = - \frac{2}{3};{u_4} = \left( { - 6} \right).{\left( {\frac{1}{3}} \right)^3} = - \frac{2}{9};{u_5} = \left( { - 6} \right).{\left( {\frac{1}{3}} \right)^4} = - \frac{2}{{27}}\).

-        Số thứ hai = số thứ nhất × 3

-        Số thứ ba = số thứ hai × 3

…

-        Số thứ bảy = Số thứ sau × 3

Ta có: u_n+1 = 3.2ⁿ⁺¹

\( \Rightarrow \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{{3.2}^{n + 1}}}}{{{{3.2}^n}}} = 2\) với n ≥ 1

Vì vậy dãy (u_n) là cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 6 và công bội q = 2.

a) Ta có: 3; – 6; 12; – 24; ... là cấp số nhân với u₁ = 3 và công bội q = – 2.

Khi đó tổng của 12 số hạng đầu của cấp số nhân đã cho là:

\({S_{12}} = \frac{{3\left[ {1 - {{\left( { - 2} \right)}^{12}}} \right]}}{{1 - \left( { - 2} \right)}} = 12\,\,285\).

b) Ta có: \(\frac{1}{{10}},\frac{1}{{100}},\frac{1}{{1\,\,000}},...\) là một cấp số nhân với u1 = \(\frac{1}{{10}}\) và công bội \(q = \frac{1}{{10}}\)

Khi đó tổng của 5 số hạng đầu của cấp số nhân đã cho là:

\({S_5} = \frac{{\frac{1}{{10}}\left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{{10}}} \right)}^5}} \right]}}{{1 - \frac{1}{{10}}}} = 0,1111\).