Bài 2: Phương trình đường thẳng trong không gian

Trong không gian Oxyz, phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm $\mathrm{M}_0\left(\mathrm{x}_0 ; \mathrm{y}_0 ; \mathrm{z}_0\right)$ và nhận $\vec{a}=\left(a_1 ; a_2 ; a_3\right)$ làm vectơ chỉ phương có dạng: $\left\{\begin{array}{l}x=x_0+a_1 t \\ y=y_0+a_2 t \text { với } \mathrm{t} \in \mathbb{R} \text { (t được gọi là tham số). } \\ z=z_0+a_3 t\end{array}\right.$

Nếu điểm \({M_0}\) nằm trên giá của vectơ \(\vec a\), thì đường thẳng đó là đường thẳng duy nhất cần tìm.

Nếu điểm \({M_0}\) không nằm trên giá của vectơ \(\vec a\), do trong không gian, qua một điểm không nằm trên một đường thẳng, có duy nhất một đường thẳng đi qua điểm và song song với đường thẳng đó, nên tồn tại duy nhất một đường thẳng đi qua \({M_0}\) và song song với giá của vectơ \(\vec a\).

Như vậy, có duy nhất một đường thẳng \(d\) đi qua \({M_0}\) và song song hoặc trùng với giá của \(\vec a.\)

Ta có \(\overrightarrow {AB} \left( {6;3;2} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AB.\)

Ta có \(AC\parallel A'C'\) nên \(\overrightarrow {AC} \left( {3;0; - 1} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(A'C'.\)

Ta có \(AA'\parallel BB'\) nên \(\overrightarrow {AA'} \left( {3;7;8} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(BB'.\)

a) Ta có \(\vec a\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\).

Nếu \(M \in d\), ta có \(d\) đi qua hai điểm \(M\) và \({M_0}\) nên hai vectơ \(\overrightarrow {{M_0}M} \) và \(\vec a\) là hai vectơ cùng phương, suy ra \(\overrightarrow {{M_0}M}  = t\vec a\) với \(t \in \mathbb{R}\).

Ngược lại, với \(\overrightarrow {{M_0}M}  = t\vec a\) thì \(\overrightarrow {{M_0}M} \) và \(\vec a\) là hai vectơ cùng phương. Mà \(\vec a\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\), nên \(\overrightarrow {{M_0}M} \) cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\). Do \({M_0} \in d\), nên ta suy ra \(M \in d\).

b) Ta có \(\overrightarrow {{M_0}M}  = \left( {x - {x_0};y - {y_0};z - {z_0}} \right)\) và \(\vec a = \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\).

Theo câu a, ta có \(\overrightarrow {{M_0}M}  = t\vec a\) nên \(\left( {x - {x_0};y - {y_0};z - {z_0}} \right) = t\left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\)

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x - {x_0} = t{a_1}\\y - {y_0} = t{a_2}\\z - {z_0} = t{a_3}\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + t{a_1}\\y = {y_0} + t{a_2}\\z = {z_0} + t{a_3}\end{array} \right.\)

a) Từ phương trình tham số, ta có \(\vec a = \left( {8; - 4;12} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d.\)

Chọn \(\vec b = \frac{1}{4}\vec a = \left( {2; - 1;3} \right)\), ta có \(\vec b\) cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d.\)

b) Thay \(t = 0\) vào phương trình tham số của \(d\), ta được \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 8.0\\y =  - 4.0\\z = 3 + 12.0\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = 0\\z = 3\end{array} \right.\)

Vậy \(A\left( { - 1;0;3} \right)\) là một điểm nằm trên đường thẳng \(d.\)

Thay \(t = 1\) vào phương trình tham số của \(d\), ta được \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 8.1\\y =  - 4.1\\z = 3 + 12.1\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = 7\\y =  - 4\\z = 15\end{array} \right.\)

Vậy \(B\left( {7; - 4;15} \right)\) là một điểm nằm trên đường thẳng \(d.\)

Thay \(t = 2\) vào phương trình tham số của \(d\), ta được \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 8.2\\y =  - 4.2\\z = 3 + 12.2\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = 15\\y =  - 8\\z = 27\end{array} \right.\)

Vậy \(C\left( {15; - 8;27} \right)\) là một điểm nằm trên đường thẳng \(d.\)

Phương trình tham số của \(d\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 9t\\y = 0\\z =  - 7 - 2t\end{array} \right.\)

Thay hoành độ điểm \(M\) vào phương trình \(x = 5 + 9t\), ta được \( - 4 = 5 + 9t\), suy ra \(t =  - 1.\)

Thay \(t =  - 1\), tung độ và cao độ của điểm \(M\) vào các phương trình còn lại, ta thấy các phương trình đó thoả mãn (do \(0 = 0\) và \( - 5 =  - 7 - 2.\left( { - 1} \right)\)).

Vậy đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M.\)

Ta có \(M\left( {x;y;z} \right)\) thuộc \(d\), nên ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + {a_1}t\\y = {y_0} + {a_2}t\\z = {z_0} + {a_3}t\end{array} \right.\)

Suy ra \(\frac{{x - {x_0}}}{{{a_1}}} = t\); \(\frac{{y - {y_0}}}{{{a_2}}} = t\); \(\frac{{z - {z_0}}}{{{a_3}}} = t.\)

Như vậy \(\frac{{x - {x_0}}}{{{a_1}}} = \frac{{y - {y_0}}}{{{a_2}}} = \frac{{z - {z_0}}}{{{a_3}}}.\)

Phương trình chính tắc của đường thẳng \(d\) đi qua điểm \({M_0}\left( {5;0; - 6} \right)\) và nhận \(\vec a = \left( {3;2; - 4} \right)\) làm vectơ chỉ phương là \(\frac{{x - 5}}{3} = \frac{{y - 0}}{2} = \frac{{z - \left( { - 6} \right)}}{{ - 4}}\) hay \(\frac{{x - 5}}{3} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 6}}{{ - 4}}.\)

a) Đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm \(A\left( {2;2;1} \right)\) và \(B\left( {4;5;3} \right)\) nên nó nhận \(\overrightarrow {AB} \left( {2;3;2} \right)\) là một vectơ chỉ phương.

b) Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {2;2;1} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} \left( {2;3;2} \right)\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 2 + 3t\\z = 1 + 2t\end{array} \right.\)

Phương trình chính tắc của đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {2;2;1} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} \left( {2;3;2} \right)\) là \(\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 1}}{2}.\)

Ta có \(\overrightarrow {MN}  = \left( {2;3;2} \right)\).

Đường thẳng \(MN\) đi qua điểm \(M\left( {2;0; - 1} \right)\) và có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {MN}  = \left( {2;3;2} \right)\) nên phương trình tham số của đường thẳng \(MN\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 0 + 3t\\z =  - 1 + 2t\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 3t\\z =  - 1 + 2t\end{array} \right.\); phương trình chính tắc của đường thẳng \(MN\) là \(\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y - 0}}{3} = \frac{{z + 1}}{2}\) hay \(\frac{{x - 2}}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{z + 1}}{2}.\)