Bài 2. Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 4, ta được \( - 2x + 2y = 4\) nên hệ phương trình đã cho trở thành \(\left\{ \begin{array}{l} - 2x + 2y = 4\\ - 2x + 2y = 8\end{array} \right.\)

Trừ từng vế của hai phương trình ta được \(\left( { - 2x + 2y} \right) - \left( { - 2x + 2y} \right) = 4 - 8\) suy ra \(0x + 0y =  - 4\) (vô lí) .

Phương trình này không có giá trị nào của x và y thỏa mãn nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm. 

a) \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y =  - 4\\ - 3x - 7y = 13;\end{array} \right.\)

Bấm máy tính ta được kết quả \(x = \frac{{11}}{5};y = \frac{{ - 14}}{5}.\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là\(\left( {\frac{{11}}{5}; - \frac{{14}}{5}} \right).\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 1\\ - x - 1,5y = 1;\end{array} \right.\)

Bấm máy tính màn hình hiển thị “No-solution”.

Vậy hệ phương trình vô nghiệm.

c) \(\left\{ \begin{array}{l}8x - 2y - 6 = 0\\4x - y - 3 = 0.\end{array} \right.\)

Ta cần đưa hệ \(\left\{ \begin{array}{l}8x - 2y - 6 = 0\\4x - y - 3 = 0\end{array} \right.\) trở thành \(\left\{ \begin{array}{l}8x - 2y = 6\\4x - y = 3\end{array} \right.\)

Bấm máy tính màn hình hiển thị “Infinite Sol”.

Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm. 

a) Số cây cải trồng trong vườn là \(xy\)

Nếu tăng thêm 8 luống, tức số luống sẽ là \(x + 8\); số bắp cải trồng trong 1 luống giảm đi 3 tức là số cây trong 1 luống sẽ là \(y - 3\), số bắp cải của cả vườn ít sẽ ít đi 108 cây nên ta có \(\left( {x + 8} \right)\left( {y - 3} \right) + 108 = xy\) suy ra \( - 3x + 8y =  - 84.\)

Nếu giảm đi 4 luống, tức số luống sẽ là \(x - 4\), nhưng mỗi luống sẽ trồng thêm 2 cây, tức số cây trong 1 luống sẽ là \(y + 2\) thì số bắp cải cả vườn sẽ tăng thêm 64 cây nên ta có \(\left( {x - 4} \right)\left( {y + 2} \right) - 64 = xy\) suy ra \(2x - 4y = 72.\)

Nên ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} - 3x + 8y =  - 84\\2x - 4y = 72\end{array} \right.\)

b) Ta có \( - 3x + 8y =  - 84\) suy ra \(x = \frac{{84 + 8y}}{3}\) thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được \(2.\frac{{84 + 8y}}{3} - 4y = 72\) suy ra \(\frac{4}{3}y = 16\) nên \(y = 12.\)

Với \(y = 12\) nên \(x = \frac{{84 + 8.12}}{3} = 60.\)

Vậy số luống là 60, số cây trong 1 luống là 12 cây. 

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với số 3, nhân cả hai vế của phương trình thứ hai với số 2 ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l}12x + 9y = 18\\ - 12x + 20y =  - 8\end{array} \right.\)

Cộng từng vế của hai phương trình ta có \(\left( {12x + 9y} \right) + \left( { - 12x + 20y} \right) = 18 + \left( { - 8} \right)\) nên \(29y = 10\) suy ra \(y = \frac{{10}}{{29}}.\)

Thế \(y = \frac{{10}}{{29}}\) vào phương trình thứ nhất ta được \(4x + 3.\frac{{10}}{{29}} = 6\) nên \(4x = \frac{{144}}{{29}}\) suy ra \(x = \frac{{36}}{{29}}.\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {\frac{{36}}{{29}};\frac{{10}}{{29}}} \right)\). 

1. Cộng từng vế của hai phương trình trong hệ ta được:

\(\begin{array}{l}\left( {2x + 2y} \right) + \left( {x - 2y} \right) = 6 + 3\\3x = 9\\x = 3\end{array}\)

2. Với \(x = 3\) thay vào phương trình thứ hai ta có: \(3 - 2y = 6\) nên \(y = \frac{{ - 3}}{2}.\)

Vậy \(\left( {3;\frac{{ - 3}}{2}} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình. 

Ta có \(x + 3y = - 1\) hay \(x = - 1 - 3y\) (2) , thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được

\(\begin{array}{l}3\left( { - 1 - 3y} \right) + 9y = - 3\\0y - 3 = - 3\end{array}\)

\(0y = 0\) (luôn đúng) (1)

Ta thấy với mọi \(y \in \mathbb{R}\) thì đều thỏa mãn phương trình (1), ứng với mỗi y ta tìm được một x tương ứng được tính bởi (2) .

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( { - 1 - 3y;y} \right)\) với \(y \in \mathbb{R}\) tùy ý.

a) Từ phương trình \(x - 3y = 2\) ta có \(x = 2 + 3y.\)

Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được \( - 2\left( {2 + 3y} \right) + 5y = 1\) hay \( - 4 - y = 1\) suy ra \(y = - 5.\) Từ đó \(x = 2 + 3.\left( { - 5} \right) = - 13.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm là \(\left( { - 13; - 5} \right).\)

b) Từ phương trình \(4x + y = - 1\) ta có \(y = - 1 - 4x.\)

Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được \(7x + 2\left( { - 1 - 4x} \right) = 1\) hay \( - x - 2 = 1\) suy ra \(x = - 3.\) Từ đó \(y = - 1 - 4.\left( { - 3} \right) = 11.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm là \(\left( { - 3;11} \right).\)

1. Ta có \(x + y = 3\) suy ra \(y = 3 - x\) thay vào phương trình \(2x - 3y = 1\) ta được:

\(\begin{array}{l}2x - 3\left( {3 - x} \right) = 1\\2x - 9 + 3x = 1\\5x = 10\\x = 2\end{array}\)

2. Với \(x = 2\) suy ra \(y = 3 - 2 = 1.\) Vậy \(\left( {2;1} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình đã cho. 

Ta có \( - 2x + y = 3\) hay \(y = 3 + 2x\), thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được

\(\begin{array}{l}4x - 2\left( {3 + 2x} \right) = - 4\\0x - 6 = - 4\end{array}\)

\(0x = 2\) (vô lí) (1)

Do không có giá trị nào của y thỏa mãn hệ thức (1) nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

a) Cộng từng vế của hai phương trình ta được \( - 2y =  - 8\) suy ra \(y = 4.\)

Thế \(y = 4\) vào phương trình đầu ta được \( - 4x + 3.4 = 0\) nên \( - 4x =  - 12\) suy ra \(x = 3.\)

Vậy\(\left( {3;4} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình.

b) Trừ từng vế của hai phương trình ta được \(\left( {4x + 3y} \right) - \left( {x + 3y} \right) = 0 - 9\) nên \(3x =  - 9\) suy ra \(x =  - 3.\)

Thế \(x =  - 3\) vào phương trình số hai ta được \( - 3 + 3.y = 9\) nên \(3y = 12\) suy ra \(y = 4.\)

Vậy \(\left( { - 3;4} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình.