Bài 2: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

a) Có $y^{\prime}=3 x^2-12 ; y^{\prime}=0$ Û $x=2$ hoặc $x=-2$ (loại vì $x \in[-1 ; 3]$ ).

Có $y(-1)=12 ; y(2)=-15 ; y(3)=-8$.
Vậy $\min _{[-1 ; 3]} y=y(2)=-15 ; \max _{[-1 ; 3]} y=y(-1)=12$.
b) Có $y^{\prime}=-3 x^2+48 x-180 ; y^{\prime}=0 \hat{U} x=6$ hoặc $x=10$.

Có $y(3)=49 ; y(6)=-32 ; y(10)=0 ; y(11)=-7$.
Vậy $\min _{[3 ; 11]} y=y(6)=-32 ; \max _{[3 ; 11]} y=y(3)=49$.
c) Có $y^{\prime}=\frac{2(x-2)-(2 x+1)}{(x-2)^2}=-\frac{5}{(x-2)^2}<0, \forall x \in[3 ; 7]$.

Có $y(3)=7 ; y(7)=3$.
Vậy $\min _{[3 ; 7]} y=y(7)=3 ; \max _{[3 ; 7]} y=y(3)=7$.
d) Có $\mathrm{y}^{\prime}=2 \cos 2 \mathrm{x} ; \mathrm{y}^{\prime}=0 \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}$ vì $\mathrm{x} \in\left[0 ; \frac{7 \pi}{12}\right]$.

Có $\mathrm{y}(0)=0 ; y\left(\frac{\pi}{2}\right)=0 ; y\left(\frac{7 \pi}{12}\right)=-\frac{1}{2}$
Vậy $\min _{\left[0 ; \frac{7 \pi}{12}\right]} y=y\left(\frac{7 \pi}{12}\right)=-\frac{1}{2} ; \max _{\left[0 ; \frac{7 \pi}{12}\right]} y=y(0)=y\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$.

a) Xét \(y = {x^3} - 3x - 4\) trên nửa khoảng [-3;2)

\(y' = 3{x^2} - 3 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 1\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{[ - 3;2)} y = y( - 3) =  - 22\), \(\mathop {\max }\limits_{[ - 3;2)} y = y( - 1) =  - 2\).

b) Xét \(y = \frac{{3{x^2} - 4x}}{{{x^2} - 1}}\) trên khoảng \(( - 1; + \infty )\)

Tập xác định: \(D = ( - 1; + \infty )\)

\(y' = \frac{{4{x^2} - 6x + 4}}{{{{({x^2} - 1)}^2}}} > 0, \forall x \in D\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số không tồn tại giá trị nhỏ nhất trên khoảng \(( - 1; + \infty )\)

a) \(h(x)\)đạt giá trị cực đại tại x = 0 và \(\mathop {\max h(x)}\limits_{[ - 1;3]}  = h(0) = 3\)

b) \(\mathop {\max f(x)}\limits_{[ - 1;3]}  = f(3) = \frac{9}{2}\) và \(\mathop {\max g(x)}\limits_{[ - 1;3]}  = g(2) = 2\)

a)  Từ đồ thị, ta thấy \(\mathop {\max }\limits_{[1;6]} f(x) = f(1) = 6\) và \(\mathop {\min }\limits_{[1;6]} f(x) = f(5) = 1\)

b) Từ đồ thị, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{[ - 3;3]} g(x) = g( - 3) = g( - 1) = 1\) và \(\mathop {\max }\limits_{[ - 3;3]} g(x) = g(1) = 7\)

Xét \(g(x) = x + \frac{4}{{{x^2}}}\) trên đoạn [1;4]

\(g'(x) = 1 - \frac{8}{{{x^3}}} = 0 \Leftrightarrow x = 2\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{[1;4]} g(x) = g(2) = 3\) và \(\mathop {\max }\limits_{[1;4]} g(x) = g(1) = 5\)

Xét \(y(t) = 5 - \frac{{15t}}{{9{t^2} + 1}}\) trên nửa đoạn \([0; + \infty )\)

\(y'(t) = \frac{{135{t^2} - 15}}{{{{(9{t^2} + 1)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{3}\\x =  - \frac{1}{3}(loai)\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{[0; + \infty )} y(t) = y(\frac{1}{3}) =  - \frac{5}{2}\) và \(\mathop {\max }\limits_{[0; + \infty )} y(t) = y(0) = 5\)

Vậy vào các thời điểm t = 0 thì nồng độ oxygen trong nước cao nhất và t = \(\frac{1}{3}\) giờ thì nồng độ oxygen trong nước thấp nhất

a) Khẳng định đúng là iii) vì nhìn hình ta thấy điểm cao nhất của đồ thị là \(34^\circ C\)

b) Thời điểm có nhiệt độ cao nhất trong ngày (\(34^\circ C\)) là lúc 16 giờ

c) Nhiệt độ thấp nhất trong ngày là \(20^\circ C\)

a) Xét \(f(x) = 2{x^3} - 9{x^2} + 12x + 1\) trên đoạn [0;3]

\(f'(x) = 6{x^2} - 18x + 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 1\end{array} \right.\)

 Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{[0;3]} f(x) = f(0) = 1\) và \(\mathop {\max }\limits_{[0;3]} f(x) = f(3) = 10\)

b) Xét \(g(x) = x + \frac{1}{x}\) trên khoảng (0;5)

\(g'(x) = 1 - \frac{1}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 1(loai)\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{(0;5)} f(x) = f(1) = 2\) và hàm số không tồn tại giá trị lớn nhất trên khoảng (0;5)

c) Xét \(h(x) = x\sqrt {2 - {x^2}} \)

Tập xác định: \(D = [ - \sqrt 2 ;\sqrt 2 ]\)

\(h'(x) = \sqrt {2 - {x^2}}  - \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {2 - {x^2}} }}\)

Tập xác định mới: \({D_1} = ( - \sqrt 2 ;\sqrt 2 )\)

\(h'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 1\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_D f(x) = f( - 1) =  - 1\) và \(\mathop {\max }\limits_D f(x) = f(1) = 1\)

Đặt một cạnh góc vuông là x (x > 0) thì cạnh còn lại là \(\sqrt {25 - {x^2}} \)

Diện tích tam giác vuông là: \(f(x) = \frac{{1}}{2} x\sqrt {25 - {x^2}} \)

Tập xác định: \(D = (0; 5 )\)

\(f'(x) = \frac{{1}}{2}\sqrt {25 - {x^2}}  - \frac{{1}}{2}. \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {25 - {x^2}} }}\)

Tập xác định mới: \({D_1} = (0; 5 )\)

\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{5\sqrt {2} }}{2}\\x =  - \frac{{5\sqrt {2} }}{2}(loại)\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\max }\limits_D f(x) = f(\frac{{5\sqrt {2} }}{2}) = \frac{25}{4}\).

Vậy diện tích lớn nhất của tam giác là \(\frac{25}{4}\).