Bài 1: Tính đơn điệu của hàm số

Ta có y = – x³ + 300x² với x ∈ [0; 300].

          y' = – 3x² + 600x;

          y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 200.

Bảng xét dấu của y' trên đoạn [0; 300] như sau:

Kết hợp với đồ thị ở Hình 1, ta thấy lợi nhuận theo số sản phẩm sản xuất ra tăng thì đạo hàm y' mang dấu dương, lợi nhuận theo số sản phẩm sản xuất ra giảm thì đạo hàm y' mang dấu âm.

a) Cho K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và \(f\left( x \right)\) là hàm số xác định trên K.

- Hàm số \(f\left( x \right)\) được gọi là hàm số đồng biến trên K nếu với mọi \({x_1},{x_2}\) thuộc K và \({x_1} < {x_2}\) thì \(f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\).

- Hàm số \(f\left( x \right)\) được gọi là hàm số đồng biến trên K nếu với mọi \({x_1},{x_2}\) thuộc K và \({x_1} < {x_2}\) thì \(f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\).

- Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K còn được gọi là hàm số đơn điệu trên K.

b)

- Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\).

- Đạo hàm \(f'\left( x \right) = 2x\)âm khi \(x < 0\) và dương khi \(x > 0\).

- Hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^2}\) nghịch biến khi \(f'\left( x \right) = 2x\)mang dấu âm và đồng biến khi \(f'\left( x \right) = 2x\) mang dấu dương.

- Ta có bàng biến thiên sau:

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\).

Ta có: \(y' = 4{x^2} - 4x + 1\).

Xét \(y' = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\).

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\).

Ta có: \(y' = 4{x^3} + 4x\).

Xét \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\).

Ta có bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\).

a) Tập xác định \(D = \mathbb{R}\).

Ta có: \(y' = 3{x^2}\).

Xét \(y' = 0 \Rightarrow x = 0\).

Bảng xét dấu:

Vậy hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

b) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đạo hàm \(y' = 3{x^2}\) luôn dương với mọi x.

c) Phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có một nghiệm.

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\).

Ta có: \(y' = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\).

Xét \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\).

Ta có bảng xét dấu của y' như sau:

Vậy hàm số \(y = \sqrt {{x^2} + 1} \) nghịch biến trên nửa khoảng \(( - \infty ;0]\) và đồng biến trên nửa khoảng \([0; + \infty )\).

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\).

Ta có: \(y' = \frac{5}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).

Nhận xét: \(y' > 0\) với mọi \(x \in D\).

Ta có bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( { - 2; + \infty } \right)\).

a) Nhận xét: Ta thấy rằng \(f\left( x \right) > f\left( { - 2} \right)\) với mọi \(x \in \left( { - 3; - 1} \right)\) và \(x \ne  - 2\).

b) Tương tự: Ta thấy rằng \(f\left( x \right) < f\left( 0 \right)\) với mọi \(x \in \left( { - 1;1} \right)\) và \(x \ne 0\).

a) \({x_o}\) có là điểm cực đại của hàm số \(f\left( x \right)\) .

b) \({x_1}\) có là điểm cực tiểu của hàm số \(h\left( x \right)\).

a) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).

Ta có: \(y' = 4{x^3} - 12x + 8\).

Xét \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2\\x = 1\end{array} \right.\)

Ta có bảng biến thiên sau:

Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm \(x =  - 2\).

b) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Ta có: \(y' = \frac{{ - 8}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\).

Nhận xét \(y' < 0{\rm{ }}\forall x \in D\)

Ta có bảng biến thiên sau:

Vậy hàm số không có điểm cực trị.