Bài 1. Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Xét tam giác ABC vuông tại A, áp dụng tỉ số lượng giác hai góc phụ nhau, ta có:

sin y = cos x \( \approx 0,78\) ; tan y = cot x \( \approx 1,25\).

a) \(\sin {52^o} \approx 0,375;\cos {22^o} \approx 0,927;\tan {22^o} \approx 0,404;\cot {22^o} \approx 2,745\)

\(\sin {52^o} \approx 0,788;\cos {52^o} \approx 0,616;\tan {52^o} \approx 1,28;\cot {52^o} \approx 0,781\)

\(\sin {15^o20’} \approx 0,264;\cos {15^o20’} \approx 0,964;\tan {15^o20’} \approx 0,274;\cot {15^o20’} \approx 3,647\)

\(\sin {52^o18’} \approx 0,791;\cos {52^o18’} \approx 0,612;\tan {52^o18’} \approx 1,294;\cot {52^o18’}  \approx 0,773\)

b) Góc x \( \approx {46^o}18'\)

góc y \( \approx {34^o}6'\)

góc z \( \approx {75^o}8'\)

góc t \( \approx {32^o}59'\) 

a) A = \(\frac{{2\cos {{45}^o}}}{{\sqrt 2 }} + \sqrt 3 \tan {30^o} = \frac{{2.\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}{{\sqrt 2 }} + \sqrt 3 .\frac{{\sqrt 3 }}{3} = 1 + 1 = 2\)

b) B = \(\frac{{2\sin {{60}^o}}}{{\sqrt 3 }} - \cot {45^o} = \frac{{2.\frac{{\sqrt 3 }}{2}}}{{\sqrt 3 }} - 1 =  1- 1 =  0\).

a) sin 72^o = cos (90 ^o – 72^o)= cos 18^o

cos 72^o = sin(90 ^o – 72^o)= sin 18^o

tan 72^o = cot(90 ^o – 72^o)= cot 18^o

b) Theo đề bài ta có: sin 18^o \( \approx 0,31\) ; tan 18^o \( \approx 0,32\).

Suy ra cos 72^o = sin(90 ^o – 72^o)= sin 18^o \( \approx 0,31\)

và cot 72^o = tan(90 ^o – 72^o)= tan 18^o \( \approx 0,32\).

Xét tam giác vuông ABC vuông tại B:

Ta có tan\(\widehat {ACB} = \frac{{AB}}{{BC}}\).

Suy ra AB = tan\(\widehat {ACB}.BC\) = tan60^o . 5,8 = \(\sqrt 3 .5,8 \approx 10,05\)

Vậy chiều cao tháp canh là khoảng 10,05 m.

a) Xét tam giác vuông cân ABC:

Áp dụng định lý Pythagore ta có:

BC = \(\sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \).

Các tỉ số lượng giác của góc 45^o là:

sin 45^o = \(\frac{{AC}}{{BC}} = \frac{a}{{\sqrt 2 a}} = \frac{\sqrt 2 }{{ 2 }}\)

cos 45^o = \(\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{a}{{\sqrt 2 a}} = \frac{\sqrt 2 }{{ 2 }}\)

tan 45^o = \(\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{a}{a} = 1\)

cot 45^o = \(\frac{1}{{\tan {{45}^o}}} = \frac{1}{1} = 1\)

b) Xét tam giác vuông MHN vuông tại H:

Áp dụng định lý Pythagore ta có:

MH = \(\sqrt {M{N^2} - M{H^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}a\).

Các tỉ số lượng giác của góc 30^o là:

sin 30^o = \(\frac{{NH}}{{NM}} = \frac{{\frac{a}{2}}}{a} = \frac{1}{2}\)

cos 30^o = \(\frac{{MH}}{{NM}} = \frac{{\frac{{\sqrt 3 a}}{2}}}{a} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

tan 30^o = \(\frac{{NH}}{{MH}} = \frac{{\frac{a}{2}}}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)

cot 30^o = \(\frac{1}{{\tan {{30}^o}}} = 1:\frac{{\sqrt 3 }}{3} = \sqrt 3 \)

Các tỉ số lượng giác của góc 60^o là:

sin 60^o = \(\frac{{MH}}{{NM}} = \frac{{\frac{{\sqrt 3 a}}{2}}}{a} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

cos 60^o = \(\frac{{NH}}{{NM}} = \frac{{\frac{a}{2}}}{a} = \frac{1}{2}\)

tan 60^o = \(\frac{{MH}}{{NH}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\frac{a}{2}}} = \sqrt 3 \)

cot 60^o = \(\frac{1}{{\tan {{60}^o}}} = 1:\sqrt 3 = \frac{\sqrt 3}{{3 }}\) 

a) Hai tam giác vuông OAB và OA’B’ đồng dạng với nhau vì:

\(\widehat {A'OB'} = \widehat {AOB}\)

b) Vì \(\Delta OAB\backsim \Delta OA'B'\) nên ta có:

\(\frac{{AB}}{{OA}}\) = \(\frac{{A'B'}}{{OA'}}\); \(\frac{{AB}}{{OB}}\) = \(\frac{{A'B'}}{{OB'}}\); \(\frac{{OA}}{{OB}}\) = \(\frac{{OA'}}{{OB'}}\).

Hình 5a:

Xét tam giác ABC, \(\widehat B = {90^o}\) ; \(\widehat A = \alpha \) .

Ta có:

sin\(\alpha \) = \(\frac{{BC}}{{AC}} = \frac{4}{5} = 0,8\)

cos \(\alpha \) = \(\frac{{BA}}{{AC}} = \frac{3}{5} = 0,6\)

tan \(\alpha \) = \(\frac{{BC}}{{BA}} = \frac{4}{3} = 1,33\)

cot \(\alpha \) = \(\frac{{BA}}{{BC}} = \frac{3}{4} = 0,75\)

Hình 5b:

Xét tam giác ABC, \(\widehat B = {90^o}\) ; \(\widehat A = \alpha \) .

Ta có:

sin\(\alpha \) = \(\frac{{BC}}{{AC}} = \frac{1}{{\sqrt {17} }} = 0,24\)

cos \(\alpha \) = \(\frac{{BA}}{{AC}} = \frac{4}{{\sqrt {17} }} = 0,97\)

tan \(\alpha \) = \(\frac{{BC}}{{BA}} = \frac{1}{4} = 0,25\)

cot \(\alpha \) = \(\frac{{BA}}{{BC}} = \frac{4}{1} = 4\)

Hình 5c:

Xét tam giác ABC, \(\widehat B = {90^o}\) ; \(\widehat A = \alpha \) .

Ta có:

BC = \(\sqrt {A{C^2} - A{B^2}} = \sqrt {{3^2} - {2^2}} = \sqrt 5 \)

sin\(\alpha \) = \(\frac{{BC}}{{AC}} = \frac{{\sqrt 5 }}{3} = 0,75\)

cos \(\alpha \) = \(\frac{{BA}}{{AC}} = \frac{2}{3} = 0,67\)

tan \(\alpha \) = \(\frac{{BC}}{{BA}} = \frac{{\sqrt 5 }}{2} = 1,12\)

cot \(\alpha \) = \(\frac{{BA}}{{BC}} = \frac{2}{{\sqrt 5 }} = 0,89\)

Hình 5d:

Xét tam giác ABC, \(\widehat B = {90^o}\) ; \(\widehat A = \alpha \) .

Ta có:

AC = \(\sqrt {B{C^2} + A{B^2}} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 6 } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt {10} } \right)}^2}} = 4\)

sin\(\alpha \) = \(\frac{{BC}}{{AC}} = \frac{{\sqrt 6 }}{4} = 0,61\)

cos \(\alpha \) = \(\frac{{BA}}{{AC}} = \frac{{\sqrt {10} }}{4} = 0,79\)

tan \(\alpha \) = \(\frac{{BC}}{{BA}} = \frac{{\sqrt 6 }}{{\sqrt {10} }} = 0,77\)

cot \(\alpha \) = \(\frac{{BA}}{{BC}} = \frac{{\sqrt {10} }}{{\sqrt 6 }} = 1,29\) 

Xét tam giác ABC vuông tại A. Ta có:

Các tỉ số lượng giác của góc \(\alpha \) là:

sin \(\alpha \) = \(\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{c}{a}\)

cos \(\alpha \) = \(\frac{{AC}}{{BC}} = \frac{b}{a}\)

tan \(\alpha \) = \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{c}{b}\)

cot \(\alpha \) = \(\frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{b}{c}\)

Các tỉ số lượng giác của góc 90^o - \(\alpha \) là:

sin 90^o - \(\alpha \) = \(\frac{{AC}}{{BC}} = \frac{b}{a}\)

cos 90^o - \(\alpha \) = \(\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{c}{a}\)

tan 90^o - \(\alpha \) = \(\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{b}{c}\)

cot 90^o - \(\alpha \) = \(\frac{1}{{\tan {{90}^o} - \alpha }} = \frac{c}{b}\)

b) Ta có \(\widehat C\) = \(\alpha \) ; \(\widehat B\) = 90^o - \(\alpha \) nên theo phần a ta có:

sin \(\widehat B\) = cos \(\widehat C\)

cos \(\widehat B\) = sin \(\widehat C\)

tan \(\widehat B\) = cot \(\widehat C\)

tan \(\widehat C\) = cot \(\widehat B\)