Bài 1. Đường tròn ngoại tiếp tam giác. Đường tròn nội tiếp tam giác

Các đường thẳng AB, BC, CA tiếp xúc với đường tròn (I) lần lượt tại các điểm: P, M, N.

Đường tròn (I) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC vì nó tiếp xúc với ba cạnh AB, BC, CA.

Đường tròn (I) là đường tròn nội tiếp tam giác CDE vì nó tiếp xúc với ba cạnh DE, DC, EC.

Vì O là trung điểm của BC nên AO là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Xét tam giác ABC vuông tại A có AO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên ta có: \(OA = OB = OC = \frac{{BC}}{2}\)

Vậy 3 điểm A, B, C thuộc đường tròn đường kính OB nên (O; OB) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Chứng minh

Kẻ đường trung trực AH của tam giác ABC suy ra \(O \in AH,\widehat {OHB} = 90^\circ .\)

Vì tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O; 2cm) nên OA = OB = 2cm.

Ta lại có: AH là đường trung trực của tam giác đều ABC nên AH đồng thời là đường trung tuyến, do đó \(OH = \frac{1}{2}AO = \frac{1}{2}.2 = 1cm,AH = 3OH = 3.1 = 3cm.\)

Xét tam giác OHB  vuông tại H, áp dụng định lý Pytago ta có: \(BH = \sqrt {B{O^2} - O{H^2}}  = \sqrt {{2^2} - {1^2}}  = \sqrt 3 cm.\)

Xét tam giác AHB  vuông tại H, áp dụng định lý Pytago ta có:

\(AB = \sqrt {{3^2} + {{\sqrt 3 }^2}}  = 2\sqrt 3 cm.\)

Vậy\(AB = 2\sqrt 3 cm.\)

Cách sử dụng ê ke để xác định tâm của một đường tròn bất kì khi chưa biết tâm của nó:

Bước 1. Lấy một điểm M bất kì trên đường tròn.

Bước 2. Đặt đỉnh vuông của ê ke trùng với điểm M.

Bước 3. Kẻ hai đường thẳng đi qua hai cạnh góc vuông của ê kê, hai đường thẳng này cắt đường tròn lần lượt tại hai điểm A, B (khác điểm M).

Bước 4. Nối đoạn thẳng AB, khi đó AB là đường kính của đường tròn.

Bước 5. Lấy O là trung điểm của AB, khi đó O là tâm của đường tròn đã cho.

Thật vậy, ∆MAB vuông tại M nên đường tròn ngoại tiếp tam giác MAB có tâm là trung điểm O của cạnh huyền AB.

a) Vì O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC nên điểm O cách đều ba đỉnh của tam giác ABC.

Do đó OA = OB = OC.

b) Ta có OA = OB = OC = R nên ba điểm A, B, C cùng nằm trên đường tròn (O; R) hay đường tròn (O; R) đi qua ba đỉnh của tam giác.

Vậy đường tròn (O; R) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Các đỉnh A, B, C của tam giác ABC đều thuộc đường tròn (O).

Đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác được gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

⦁ Đường tròn (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vì nó đi qua ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC.

⦁ Đường tròn (I) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD vì nó đi qua ba đỉnh A, B, D của tam giác ABD.

a)    Vì tam giác ABC đều nên ba đường trung tuyến AM, BN, CP cũng đồng thời là ba đường trung trực của tam giác ABC. Do đó AM, BN, CP lần lượt là trung trực của BC, AC, AB.

b)    Do ba đường trung trực của tam giác ABC cắt nhau tại O nên O cách đều 3 đỉnh A, B, C (tính chất 3 đường trung trực của tam giác).

Vậy O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

c)     Xét tam giác đều ABC cạnh a  có trung tuyến AM  nên \(BM = \frac{1}{2}BC = \frac{a}{2}.\)

AM là đường trung trực của tam giác ABC (cmt) nên \(AM \bot BC\) do đó \(\widehat {AMB} = 90^\circ .\)

Xét tam giác ABM vuông tại M có:

\(A{M^2} = A{B^2} - B{M^2} = {a^2} - {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = \frac{{3{a^2}}}{4}\) (Pytago)

\(AM = \frac{{\sqrt 3 a}}{2}.\)

d)    Ta có: AM là trung tuyến của tam giác ABC, O là trọng tâm nên \(OA = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3}.\frac{{\sqrt 3 a}}{2} = \frac{{\sqrt 3 a}}{3}.\)